5－2 复域：根轨迹法2

null《自动控制原理》 ——根轨迹法 (5-2) 《自动控制原理》 ——根轨迹法 (5-2) 上海交通大学自动化系 田作华 Zhtian@sjtu.edu.cn第五章《根轨迹法》第五章《根轨迹法》6、根轨迹在实轴上的分离点与会合点 分离点或会合点的必要条件： 式中 第五章《根轨迹法》第五章《根轨迹法》设 系统的开环传递函数 第五章《根轨迹法》第五章《根轨迹法》 根轨迹在s平面上相遇， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明系统有相同的根。即根轨迹上 的分离点(或会合点) 与特征方程式的重根相对应。若为二重 根，必同时满足 和 。因此求得： 消 去，可得到： 便于忘记，上式又可写成： 或 以上分析没有考虑 (且为实数)的约束条件，所以只有满 足 的这些解，才是真正的分离点（或会合点）。第五章《根轨迹法》第五章《根轨迹法》例: 设系统 试求该系统根轨迹在实轴上的会合点。 解：系统的开环传递函数： 求得： 代入特征方程1+G(s)H(s)=0检验：s1代入，求得：K＜0，故 舍去； s2代入，求得K＞0 。所以s2会合点。(舍去) 第五章《根轨迹法》检验K1只要得到的符号即可,不必出具体的数值。 一般来说:如果根轨迹位于实轴上两相邻的开环极点(零点) 之间；则个分离点(会合点) 。如果根轨迹位于实轴上一个开 环极点与一个开环零点之间，则或者既不存在分离点，也不 存在会合点，或者既存在分离点，又存在会合点。第五章《根轨迹法》第五章《根轨迹法》第五章《根轨迹法》 四重分离点 复数分离点第五章《根轨迹法》第五章《根轨迹法》 另外两种表达形式： (1) 因为 令 , 即得到 第五章《根轨迹法》第五章《根轨迹法》仍以上例说明: 因为 令 求得 (舍去) 第五章《根轨迹法》(2) 因为 即 其中 即 所以 -第五章《根轨迹法》null 仍以上例说明: 因为 消去分母 解上式得到 经检验，s2是根轨迹在实轴上的分离点。 对于采用上述三种 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，所得结果完全一致。由于后面 两种方法都是从第一种方法派生出来的，所以求得的结果一定 要检验，舍去K＜0所对应的值。 第五章 《根轨迹法》（舍去） 第五章《根轨迹法》第五章《根轨迹法》复杂情况用试探法。 在-2-3之间存在一个分离点。 所以分离点的位置为 第五章《根轨迹法》第五章《根轨迹法》7、根轨迹的出射角与入射角 若根轨迹的一个分支离开复极点 的出射角为 ，则 （各零点 到的向量幅角 之和） （其它各极点到 的向量幅角 之和） 若根轨迹的一个分支终止于复零点 的入射角为 ，则 (各极点到 的向量幅角 之和) (其它各零点到 的向量幅角 之和) 第五章《根轨迹法》 出射角(或入射角)是指根轨迹离 开复极点 (或终止复零点)处切线的 倾角。 在根轨迹曲线上取试验点s1，与 复极点-pa的距离为 。 当 时，可近似地 认为s1在切线上，切线 的倾角就等于复极点的 出射角。 所以 的出射角: 第五章《根轨迹法》第五章《根轨迹法》8. 根轨迹与虚轴交点 根轨迹与虚轴交点的纵坐标为满足特征方程 的 值。工作在此点时，系统处于临界稳定状态。 介绍常用的三种方法。 (1) 利用特征方程求取。用 替代s，令虚部、实部分别等于 零，求得 和对应的K1。 (2) 利用劳斯阵列求取。将劳斯阵列中s2行系数构造的辅助 方程求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯 阵列中大于2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。 (3) 利用试探法求取。先给出根轨迹的大致图形，根据经验 选择满足幅角条件的试探点求出 ，再利用幅值条件确 定交点处的K1值。第五章《根轨迹法》第五章《根轨迹法》例 系统的开环传递函数为 试绘制根轨迹图 解：开环极点：0、-3、-1+j、-1-j 开环零点：4个无限零点 (1)渐近线：应有n-m=4-0=4条渐近线。 渐近线的倾角： 渐近线与实轴的交点： (2) 实轴上的根轨迹：0  -3 第五章《根轨迹法》第五章《根轨迹法》(3)分离点： 利用试探法求得 (4)极点-p3的出射角 ：不难求得极点-p1、 -p2、 -p4到-p3的 幅角分别 、 、 . 所以 同理不难求得极点-p4处的出射角： (5)根轨迹与虚轴的交点： 方法一：由特征方程求： 特征方程 ：第五章《根轨迹法》第五章《根轨迹法》实部方程： 虚部方程： 解得： 方法二：由劳斯阵列求： 列出劳斯阵列 令s1行首项为零，即 求K1 =8.16得，再根据行s2系数得到辅助方程 第五章《根轨迹法》(舍去)第五章《根轨迹法》9. 根轨迹的走向 当n-m≥2满足时，随着K1增加，一些根轨迹分支向左方 移动，则另一些根轨迹分支将向右方移动。 开环传递函数： 特征方程： 当满足n-m≥2 时，上式sn-1项将没有同次项可以合并，通 常把称之为极点的“重心”。第五章《根轨迹法》第五章《根轨迹法》 当K1变化时，极点的重心 保持不变。所以，为了平衡 “重心”的位置，当一部分根轨 迹随着的增加向左方移动时， 另一部分根轨迹将向右方移动. 例第五章《根轨迹法》第五章《根轨迹法》第五章《根轨迹法》10. 根轨迹上K1值的计算 根轨迹上任一点S1处的K1可由幅值条件来确定。即 = 绘制根轨迹图的十条规则绘制根轨迹图的十条规则绘制根轨迹图的十条规则绘制根轨迹图的十条规则第五章《根轨迹法》第五章《根轨迹法》 例: 系统的开环传递函数 试画根轨迹，并确定 时K1的值。 解：只对根轨迹曲线的特征点进行分析。 (1) 渐近线：3条。 渐近线的夹角： 渐近线与实轴的交点： （2）分离点： 即 （舍去）第五章《根轨迹法》第五章《根轨迹法》（3）与虚轴的交点 系统的特征方程：s(s+4)(s+6)+K1=0 令 代入，求得 实部方程: 虚部方程： 解得： (舍去) （4）确定 时的K1 值： 过原点作OA射线交根轨迹于A， 使得 ， 测量得: 求得第五章《根轨迹法》第五章《根轨迹法》A点对应的坐标，即闭环的一个极点位置: K1=44.5时另外两个极点 同理可求得根轨迹在实轴上的分离点-1.57处对应的K1=17。 第五章《根轨迹法》第五章《根轨迹法》习题 P5.1 P5.2 P5.4 。