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第四章 OLS估计量的大样本性质.pdf

第四章 OLS估计量的大样本性质

晨曦清风
2010-10-29 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《第四章 OLS估计量的大样本性质pdf》,可适用于高等教育领域

第四章OLS估计量的大样本性质第章估计大样本性质•在实际中假设六并不必然成立。•之前所描述的OLS的性质(比如无偏性等)都是小样本性质即保持样本量不变重复抽样所得到的性质。但是重复抽样的成本太高。–如果只抽一次样但是使得样本量足够大我们是否可以得到一些比较好的性质。是否可以得到些比较好的性质。•即所谓“大样本性质”。•一致性:对于任意小的如果估计量满足以下性质那么就称为的致估计量nWε以下性质那么就称为的一致估计量。nWθPr(||)asnobnWθε−>→→∞•简写为:lim()npWθ=n→∞n→∞WWnWθ•性质一:对于连续函数如果那()glim()pWθ=•性质:对于连续函数如果那么有()glim()npWθlim()(lim())nnpggpWW=•性质二:如果并且那么lim()npTα=lim()npUβ=性质二:如果并且那么以下等式成立nTnUli()UTβ––lim()nnpUTαβ=lim()nnpUTαβ=–lim()nnpTUαβ=•大数定理:假设是一组独立同分布的随机变量并且期望等于那么我们就有,,,nYYYμli()机变量并且期望等于。那么我们就有–给定一个期望为方差为的随机变量那么方μlim()npYμ=μσ差的估计量是无偏也是一致估计量。是一致但不是无偏估计量。()nniinYSY==−∑−()nniinYSY==∑−•中心极限定理:假设是一组期望为方差为的随机变量那么随着趋近于无{,,,}nYYYμσnin=方差为的随机变量那么随着趋近于无穷趋近于标准正态分布。σnnnYZμσ−=n–假设一组随机变量那么对于任意的随着趋于无穷如果我们有那么我们{,,,}nZZZz()()nprobzzZ≤→Φn就可以说趋近于标准正态分布。–通常我们用的一致估计量来代替nZσnSσ常我用致估计来代替•OLS估计量的一致性:在假设一到假设四成立的条件下OLS估计量是致估计量ˆ的条件下OLS估计量是一致估计量也就是说,j=,,,,kˆjβlim()ˆjjpββ=–*yxuββ=nn–()()()ˆ()()nniiiiiinniixyxniinyxxuxxxxββ====−−−==∑∑−−∑∑–根据大数定理lim()()pxEx=lim((()))((()))cov(,)niiipExExExuxunxu=−=−=∑lim()var()(())(())nipExinExxExx===−−∑–根据假设四所以cov(,)lim()var()ˆxupxββ=cov(,)xu=lim()ˆpββ=•OLS估计量的渐进(asymptotic)分布在假设到假设五成立的情下我们有以下结–在假设一到假设五成立的情况下我们有以下结论:•渐进趋于期望为方差为的正态分布其中()ˆjjnββ−jaσlim()ˆnijjpar=∑•是的一致估计量。()ijjipnar=∑ˆˆniinkuσ==−−∑σ•渐进趋于标准正态分布。()ˆˆjjseβββ−–渐进趋于jβ()ˆˆjjseβββ−nkt−−–当样本量足够大时也就是t分布的自由度足够大时t分布和标准正态分布非常接近。()jseβ标准正态分布非常接近。•那么定义ˆˆˆnijiinjjijiurrββ===∑∑()ˆˆˆnijiinjjijnnnnurrββ=−=∑∑•定义•ijin=∑lim()ˆnijjipnar==∑()((|))((|))ˆˆˆEExExuuurErEr===•所以()((|))((|))ijxijxijiiiEExExuuurErEr===var()((|))((|))()()ˆˆˆˆˆijxijxijxijiiiujuEExExijiuruuuarErErErσσ=====var()ˆnjuijiinnaurσ==∑•根据中心极限定理()ˆnijiinNormalur=∑∼根据中心极限定理(,)juNormalnaσ•其中所以我们有()ˆˆnijiijunZnnnuraσββ=−=∑∼()ZNormal∼•其中所以我们有()ˆnjjjijiujunnnnaraββσσ==∑∼(,)ZNormal即()(,)ˆujjjnNormalaσββ−∼(,)ˆujjjNormalnaσββ∼•在大样本的情况下t检验和F检验同样成立。•LM检验模型βββ–模型:–,  **kkyuxxβββ=:,,kqkHββ−==:H至少一个等式不成立–假设原假设成立估计方程得到kqkyuxxβββ−=假设原假设成立估计方程得到残差再估计方程得到拟合优度kqkqxxβββ−−u�uvxxααα=�–再估计方程得到拟合优度–构造统计量kkuvxxααα=uRuLMnR=qLMχ∼–根据置信度可以得到临界值如果则否定原假设。αcLMc>•OLS估计量的渐进有效性(asymptotic efficiency)–在假设一到假设五成立的情况下当样本量时OLS估计量的方差最小也就是n→∞var(())var(()ˆjjjjAnAnββββ−≤−�•注意是解以下方程组所得到的估计量jβ�()(*),,,,*niiikjikijkgyxxxβββ=−−−−==∑���

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