长沙市一中 2011届高三年级月考（一） 数学试题（文科） 时量：90分钟 满分：100分 （考试范围：必修1~必修4） 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集 （ ） A．{3} B．{5} C．{1，2，4，5} D．{1，2，3，4} 2．已知 ，下面不等式成立的是 （ ） A． B． C． D． 3．已知
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图如右图所示，该程序运行后，为使输出 的值为16，则循环体的判断框内①处应填的是 （ ） A．2 B．3 C．4 D．16 4．函数 的最大值是 （ ） A． B． C． D． 5．已知 （ ） A． B． C． D． 6．已知命题 ：关于 的函数 在[1，+∞）上是增函数，命题 ：关于 的函数 在R上为减函数，若 且 为真命题，则 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 7．函数 在同一直角坐标系下的图象大致是 （ ） 8．定义在R上的函数 满足 ，则 的值为 （ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。 9．函数 的定义域为 。 10．如图所示，函数 的图象在点P处的切线 方程是 ，则 。 11．已知 为第二象限的角， 。 12．已知奇函数 满足 时， ，则 的值为 。 13．若函数 在区间（0，1）内有极小值，则 的取值范围是 。 14．设函数 表示不超过实数 的最大整数，则函数 的值域是 。 15．设函数 ，给出下列4个命题 ① 时，方程 只有一个实数根； ② 时， 是奇函数； ③ 的图象关于点 对称； ④函数 至多有2个零点。 上述命题中的所有正确命题的序号是 。 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分） 已知集合 （1）若 的取值范围； （2）若 的值。 17．（本小题满分12分） 已知 （1）求 的值； （2）求 的值。 18．（本小题满分12分） 已知函数 （1）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求函数 的解析式； （2）当 时，讨论函数 的单调性。 19．（本小题满分13分） 已知 是二次函数，不等式 的解集是（0，5），且 在区间[-1，4]上的最大值是12。 （1）求 的解析式； （2）是否存在自然数 ，使得方程 在区间 内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由。 20．（本小题满分13分） 旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售 件。通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为 ，那么月平均销售量减少的百分率为 。记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是 （元）。 （1）写出 与 的函数关系式； （2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大。 21．（本小题满分13分） 已知 （1）若 ，函数 在其定义域内是增函数，求 的取值范围； （2）当 时，证明：函数 只有一个零点； （3）若 的图象与 轴交于 两点，AB中点为 ，求证： 参考答案 一、选择题 1—5BABDB 6—8CCB 二、填空题 9． 10．2 11． 12． 13． 14．{-1，0} 15．①②③ 三、解答题 16．解：（1） 当 时，B为空集，不合题意 …………1分 当 时， ，应满足 ……4分 当 时， ，应满足 …………7分 时， …………8分 （2）要满足 ，显然 且 时成立， 此时 而 ，故所求 的值为3。 …………12分 17．解：（1） 由于 ， 解之得 故 （舍去）， …………6分 （2） ， 由 ，求得 …12分 18．解：（1） 由导数的几何意义得 …………2分 由切点 在直线 上可知 ，解得 所以函数 的解析式为 …………5分 （2） 当 ，函数 在区间（-∞，1）及 上为增函数，在区间 上为减函数； …………8分 当 ，函数 在区间（-∞，+∞）上为增函数； 当 ，函数 在区间 及 上为增函数，在区间 ）上为减函数。 …………12分 19．解：（1） 是二次函数，且 的解集是（0，5） 可设 在区间[-1，4]上的最大值是 …………3分 由已知，得 ……6分 （2）方程 等价于方程 设 ，则 …………8分 当 是减函数； 当 时， 是增函数。 …………10分 方程 在区间 内分别有惟一实数根，而在区间（0，3）， （4，+∞）内没有实数根，所以存在惟一的自然数 ，使得方程 在区间 内有且只有两个不等的实数根。…………13分 20．解：（1）改进工艺后，每件产品的销售价为 ，用平均销售量为 件，则月平均利润 （元） 的函数关系式为 ……6分 （2）由 得 （舍）……8分 当 ，函数 是增函数；当 时 ，函数 是减函数。 函数 在 取得最大值。 故改进工艺后，产品的销售价为 元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大 …………13分 21．解：（1）依题意： 在（0，+∞）上递增， 恒成立 即 恒成立， 只需 …………2分 ，当且仅当 时取“=”， 的取值范围为 …………4分 （2）当 时， ，其定义域是（0，+∞） 时， ； 当 时， 函数 在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减……6分 时，函数 取得最大值，其值为 ， 当 函数 只有一个零点，…………8分 （3）由已知得 两式相减，得 ……10分 由 ，得 令 在（0，1）上递减， …………13分
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