5-约束优化方法

null3.5 约束优化方法3.5 约束优化方法 机械优化设计中的问题，大多数属于约束优化设计问题，其数学模型为 根据求解方式的不同，约束优化设计问题可分为:直接解法、间接解法 直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题，思路是在m个不等式约束条件所确定的可行域内，选择一个初始点，然后决定可行搜索方向S，且以适当的步长 ，沿S方向进行搜索，得到一个使目标函数值下降的可行的新点，即完成一次迭代。再以新点为起点，重复上述搜索过程，直至满足收敛条件。 null步长 可行搜索方向 可行搜索方向:当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值将下降，且不会越出可行域。常见的方法有坐标轮换法、随机方向法、复合形法等 。 间接解法的基本思路是将约束优化问题中的约束函数进行特殊的加权处理后，和目标函数结合起来，构成一个新的目标函数，即将原约束优化问题转化成为一个或一系列的无约束优化问题。再对新的目标函数进行无约束优化计算，从而间接地搜索到原约束问题的最优解。3.5.1 可行方向法 3.5.1 可行方向法 可行方向是求解大型约束优化问题的主要方法之一。这种方法的基本原理是在可行域内选择一个初始点 ，当确定了一个可行方向S和适当的步长后，按式: 进行迭代计算,迭代点既不超出可行域,又使目标函数的值有所下降。在不断调整可行方向的过程中，使迭代点逐步逼近约束最优点。1.可行方向法的搜索策略 第一步迭代都是从可行的初始点 出发，沿点的负梯度 方向，将初始点移动到某一个约束面（只有一个起作用的约束时）上, 或约束面的交集（有几个起作用的约束时）上。 null 4 沿非线性约束面的搜索 null2.产生可行方向的条件 可行方向是指沿该方向作微小移动后，所得到的新点是可行点，且目标函数值有所下降。 可行方向应满足两个条件: (1)可行; (2)下降。 1）可行条件 方向的可行条件是指沿该方向作微小移动后，所得到的新点为可行点。 null满足可行和下降条件，即式: 同时成立的方向称可行方向. 位于约束曲面在点xk的切线和目标函数等值线在点xk的切线所围成的扇形区内，该扇形区称为可行下降方向区。 null3.可行方向的产生方法满足可行、下降条件的方向位于可行下降扇形区内，在扇形区内寻找一个最有利的方向作为本次迭代的搜索方向。 （1）优选方向法 由条件：求一个以搜索方向d为设计变量的约束优化问题 s.t.各函数均为设计变量d的线性函数，因此该式为一个（线性）规划问题。 null（2）梯度投影法 当xk点目标函数的负梯度方向不满足可行条件时，可将 方向投影到约束面（或约束面的交集）上，得到投影向量 Sk。P——投影算子，为nXn阶矩阵 G ——起作用约束函数的梯度矩阵，nXJ阶矩阵； null4.步长的确定 确定的步长应使新的迭代点为可行点，且目标函数具有最大的下降量 。——约束一维搜索1）取最优步长 从xk点出发，沿Sk方向进行一维最优化搜索，取得最优步长，计算新点x的值 。null取到约束边界的最大步长 从xk点出发，沿Sk方向进行一维最优化搜索，得到的新点x为不可行点。 改变步长，使新点x返回到约束面上来。使新点x恰好位于约束面上的步长称为最大步长 。null约束一维搜索： 与以前所讲过的一维搜索相比，约束一维搜索的特点在于：确定初始区间时，对产生的每一个探测点都进行可行性判断，如违反了某个或某些约束条件，就必须减少步长因子，以使新的探测点落在最近的一个约束曲面上或约束曲面的一个容许的区间 内。0x1x2xkdkxk+1g2(x)=0g1(x)=0a*dkaMdkxnull 如得到的相邻三个探测点都是可行点，而且函数值呈“大－小－大”变化，则与前面一维搜索相同，两端点所决定的区间就是初始区间，接着缩小区间的到一维最小点。 如最后得到的探测点落在约束曲面的一个容限 之内，而且函数值比前一点的小，则该点就是一维极小点。null1）设计点xk及约束允差 满足 收敛条件2）设计点xk满足库恩-塔克条件 null例题3.5-1：用可行方向法求约束优化问题解: (1)取初始点 ，则取作用约束集: Jk={1}null(2)寻找最优方向，即解一个以可行方向为设计变量 的规划问题：1d1d2用图解法： 最优方向：null(3)沿S0方向进行一维搜索x1在约束边界g3(x)=0上:g3(x1)=0(4) 第二次迭代，用梯度投影法确定可行方向,迭代点x的目标函数负梯度不满足方向的可行条件，将 投影到约束边界g3(x)=0上。投影算子：由上式可求得：null本次迭代方向D为沿约束边界g3(x)=0的方向，求最佳步长求得：nullg5(x)=068x1x2g4(x)=0g3(x)=0g2(x)=0g1(x)=0x0d0null（4）收敛判断：由于Jk={3， 5}代入K—T条件：null3.5.2 惩罚函数法3.5.2 惩罚函数法 将有不等式约束的优化问题转化为无约束优化问题来求解。 前提：一是不能破坏约束问题的约束条件，二是使它归结到原约束问题的同一最优解上去。 构成一个新的目标函数，称为惩罚函数 求解该新目标函数的无约束极小值，以期得到原问题的约束最优解。按一定的法则改变权因子r1 和r2的值，求得一序列的无约束最优解，不断地逼近原约束优化问题的最优解。 null从而有惩罚项必须具有以下极限性质： 根据惩罚项得不同构成形式，惩罚函数法又可分为外点惩罚函数法、内点惩罚函数法和混合惩罚函数法1、内点法1、内点法 这种方法将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。 对于只具有不等式约束的优化问题： 转化后的惩罚函数形式为：或：nullrk是惩罚因子，它是一个由大到小且趋近于0的正数列，即: 由于内点法的迭代过程在可行域内进行，“障碍项”的作用是阻止迭代点越出可行域。由“障碍项”的函数形式可知，当迭代点靠近某一约束边界时，其值趋近于0，而“障碍项”的值陡然增加，并趋近于无穷大，好像在可行域的边界上筑起了一道“高墙”，使迭代点始终不能越出可行域。显然，只有当惩罚因子 时，才能求得在约束边界上的最优解。 null例3.5-2 用内点法求的约束最优解。解: 用内点法求解该问题时，首先构造内点惩罚函数: 用解析法求函数的极小值，运用极值条件： 联立求解得： null时不满足约束条件 应舍去 .无约束极值点为当nullnull1）  初始点x0的选取 使用内点法时，初始点应选择一个离约束边界较远的可行点。如太靠近某一约束边界，构造的惩罚函数可能由于障碍项的值很大而变得畸形，使求解无约束优化问题发生困难.2）  惩罚因子初值r0的选取 惩罚因子的初值应适当，否则会影响迭代计算的正常进行。一般而言，太大，将增加迭代次数；太小，会使惩罚函数的性态变坏，甚至难以收敛到极值点。无一般性的有效方法。对于不同的问题，都要经过多次试算，才能决定一个适当 r0  3) 惩罚因子的缩减系数c的选取 在构造序列惩罚函数时，惩罚因子r是一个逐次递减到0的数列，相邻两次迭代的惩罚因子的关系为 :null式中的c称为惩罚因子的缩减系数，c为小于1的正数。一般的看法是，c值的大小在迭代过程中不起决定性作用，通常的取值范围在0.1~0.7之间。 4) 收敛条件2.  外点法 2.  外点法 外点法是从可行域的外部构造一个点序列去逼近原约束问题的最优解。外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。 外点惩罚函数的形式为： r是惩罚因子 , 外点法的迭代过程在可行域之外进行，惩罚项的作用是迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。由惩罚项的形式可知，当迭代点x 不可行时，惩罚项的值大于0。 null例3.5-3 用外点法求解下列有约束优化问题 解：惩罚函数为： =对上式求偏导，得 null无约束目标函数极小化问题的最优解系列为：当惩罚因子渐增时，由下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 可看出收敛情况。 null3、 混合惩罚函数法3、 混合惩罚函数法 ◆ 外点法的初始点X(0)可任选，故可用于约束较多、初始可行点不易确定的优化问题，且不论等式或不等式约束都适用：外点法的罚因子r为递增，随着其不断增大，所得极小点序列可从可行域的外部逐步向真正的极小点X*靠拢。因此外点法仅最优解是可行 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，必须迭代到底才能得到唯一的可行解。 ◆内点法的X(0)必须在可行域内，且只能用于不等式约束，因为对于等式约束，可行域不存在内点与外点，而只有边界点；内点法的罚因子r为递减，随着罚因子的减小，所得极小点序列从可行域的内部逐步逼近X*。 所以内点法迭代的全过程都在可行域内，且每一个中间结果都是一个较初始点更优的可行方案，故内点法适合于对现有可行设计作改进，可为设计人员提供了更多的选择机会。nullnull 由于外点法和内点法各有优缺点，所以将两种方法综合起来，取长补短，这便是混合惩罚函数法。内、外点法可以认为是混合惩罚函数法的特例 ◆混合惩罚函数法对于等式约束和初始点X(0)所不满足的不等式约束，采用外点法的惩罚项处理；而对初始点X(0)所满足的不等式约束则采用内点法的惩罚项处理，混合惩罚函数为 混合惩罚函数法可同时处理具有等式和不等式约束的优化问题，对初始点的选择也无特殊要求 3.5.3 复合形法3.5.3 复合形法 复合形法属于直接法，是一种非常有效的求解有约束优化问题的方法 对于 迭代思想: (1)先在可行域内选定K个点,构成复合形 (2)比较复合形各顶点的函数值，找出最坏点X(b) 和除X(b)之外其它各点的点集中心X(c) (3)从X(b)出发通过X(c)作一射线，在此射线上找到一个既满足约束条件，又能使函数值有所改善的新顶点—反射点X(r) (4)舍弃最坏点X(b),代之以反射点X(r) ，构成新复合形 null3.5.3 序列二次规划法3.5.3 序列二次规划法 序列二次规划法的基本原理是将原问题转化为一系列二次规划子问题。 对于 相对应的拉格朗日函数为： 在xk点作泰勒展开，取二次近似表达式null令 ,拉格朗日函数的一阶导数为 Hk用变尺度矩阵Bk来代替 将等式约束 函数在xk作泰勒展开，取线性近似式: null 构成二次规划子问题 求解上述二次规划子问题，得到的d就是搜索方向 。沿搜索方向进行一维搜索确定步长 ，最终得到原问题的最优解。 对具有不等式约束的非线性规划问题： 构成二次规划子问题为:null 求解时，在每次迭代中应对不等式约束进行判断，保留其中的起作用约束，除掉不起作用的约束，将起作用的约束纳入等式约束中。这样，其中不等式约束的子问题和只具有等式约束的子问题保持了一致。 3.5.4减速器的优化设计3.5.4减速器的优化设计null 单级圆柱直齿轮减速器，以体积最小为设计目标，已知输入功率P＝58kw，转速n＝1000r/min, 传动比u＝5，齿轮的许用接触应力为550MPa， 许用弯曲应力为400MPa。设计参数：约束条件:（1）最小齿数要求； （2） 齿宽系数要求； （3）齿轮模数要求； （4）小齿轮直径要求； （5）齿轮轴直径取值要求； （6）轴的支承距离l满足条件；null（7）大齿轮满足弯曲强度要求； （8）小齿轮满足弯曲强度要求； （9）齿轮副满足接触疲劳强度要求； （10）齿轮轴的最大挠度不大于许用值； （11） 齿轮轴的弯曲应力不大于许用值。 s.t.nullnull初始方案：