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概率论公式大全.pdf

概率论公式大全

hes001
2010-10-21 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《概率论公式大全pdf》,可适用于高等教育领域

考研数学知识点概率统计Editedby杨凯钧年月一随机事件和概率、概率的定义和性质()概率的公理化定义设Ω为样本空间A为事件对每一个事件A都有一个实数P(A)若满足下列三个条件:°≤P(A)≤°P(Ω)=°对于两两互不相容的事件AA…有∑∞=∞==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛)(iiiiAPAPΥ常称为可列(完全)可加性。则称P(A)为事件A的概率。()古典概型(等可能概型)°{}nωωωΛ,=Ω°nPPPn)()()(===ωωωΛ。设任一事件A它是由mωωωΛ,组成的则有P(A)={})()()(mωωωΥΛΥΥ=)()()(mPPPωωωΛnm=基本事件总数所包含的基本事件数A=、五大公式(加法、减法、乘法、全概、贝叶斯)()加法公式P(AB)=P(A)P(B)P(AB)当P(AB)=时P(AB)=P(A)P(B)()减法公式P(AB)=P(A)P(AB)当B⊂A时P(AB)=P(A)P(B)当A=Ω时P(B)=P(B)()条件概率和乘法公式定义设A、B是两个事件且P(A)>则称)()(APABP为事件A发生条件下事件B发生的条件概率记为=)(ABP)()(APABP。条件概率是概率的一种所有概率的性质都适合于条件概率。()全概公式设事件nBBB,,,Λ满足°nBBB,,,Λ两两互不相容),,,()(niBPiΛ=>°ΥniiBA=⊂则有)|()()|()()|()()(nnBAPBPBAPBPBAPBPAP=Λ。此公式即为全概率公式。()贝叶斯公式设事件BB…nB及A满足°BB…nB两两互不相容)(BiP>=i…n°ΥniiBA=⊂)(>AP则∑==njjjiiiBAPBPBAPBPABP)()()()()(i=…n。此公式即为贝叶斯公式。)(iBP(=i…n)通常叫先验概率。)(ABPi(=i…n)通常称为后验概率。如果我们把A当作观察的“结果”而BB…nB理解为“原因”则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律并作出了“由果朔因”的推断。、事件的独立性和伯努利试验()两个事件的独立性设事件A、B满足)()()(BPAPABP=则称事件A、B是相互独立的(这个性质不是想当然成立的)。若事件A、B相互独立且)(>AP则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP===所以这与我们所理解的独立性是一致的。若事件A、B相互独立则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。(证明)由定义我们可知必然事件Ω和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。(证明)同时Ø与任何事件都互斥。()多个事件的独立性设ABC是三个事件如果满足两两独立的条件考研数学知识点概率统计Editedby杨凯钧年月P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。两两互斥→互相互斥。两两独立→互相独立?()伯努利试验定义我们作了n次试验且满足‹每次试验只有两种可能结果A发生或A不发生‹n次试验是重复进行的即A发生的概率每次均一样‹每次试验是独立的即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率则A发生的概率为qp=−用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)(nkk≤≤次的概率二随机变量及其分布、随机变量的分布函数()离散型随机变量的分布率设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=,,…)且取各个值的概率即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pkk=,,…则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出:ΛΛΛΛ,,,,,,,,|)(kkkpppxxxxXPX=。显然分布律应满足下列条件:()≥kpΛ,,=k()∑∞==kkp。()分布函数对于非离散型随机变量通常有)(==xXP不可能用分布率表达。例如日光灯管的寿命X)(==xXP。所以我们考虑用X落在某个区间,(ba内的概率表示。定义设X为随机变量x是任意实数则函数)()(xXPxF≤=称为随机变量X的分布函数。)()()(aFbFbXaP−=≤<可以得到X落入区间,(ba的概率。也就是说分布函数完整地描述了随机变量X随机取值的统计规律性。分布函数)(xF是一个普通的函数它表示随机变量落入区间(–∞x内的概率。)(xF的图形是阶梯图形Λ,,xx是第一类间断点随机变量X在kx处的概率就是)(xF在kx处的跃度。分布函数具有如下性质:°,)(≤≤xF∞<<∞−x°)(xF是单调不减的函数即xx<时有≤)(xF)(xF°)(lim)(==−∞−∞→xFFx)(lim)(==∞∞→xFFx°)()(xFxF=即)(xF是右连续的°)()()(−−==xFxFxXP。()连续型随机变量的密度函数定义设)(xF是随机变量X的分布函数若存在非负函数)(xf对任意实数x有∫∞−=xdxxfxF)()(则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数简称概率密度。)(xf的图形是一条曲线称为密度(分布)曲线。由上式可知连续型随机变量的分布函数)(xF是连续函数。所以)()()()()()(xFxFxXxPxXxPxXxPxXxP−=<<=<≤=≤<=≤≤密度函数具有下面个性质:°)(≥xf。°∫∞∞−=)(dxxf。考研数学知识点概率统计Editedby杨凯钧年月)()(==∞∫∞∞−dxxfF的几何意义在横轴上面、密度曲线下面的全部面积等于。如果一个函数)(xf满足°、°则它一定是某个随机变量的密度函数。°)(xXxP≤<=)()(xFxF−=∫)(xxdxxf。°若)(xf在x处连续则有)()(xfxF=′。dxxfdxxXxP)()(≈≤<它在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP==)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。)(),(,独立性古典概型五大公式APAE→→Ω→ω)()()()(xXPxFxXX≤=→≤→ωω对于连续型随机变量X虽然有)(==xXP但事件)(xX=并非是不可能事件Ø。∫=≤<≤=hxxdxxfhxXxPxXP)()()(令→h则右端为零而概率)(≥=xXP故得)(==xXP。不可能事件(Ø)的概率为零而概率为零的事件不一定是不可能事件同理必然事件(Ω)的概率为而概率为的事件也不一定是必然事件。、常见分布①-分布P(X=)=p,P(X=)=q②二项分布在n重贝努里试验中设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量设为X则X可能取值为n,,,,Λ。knkknnqpkPkXPC−===)()(其中nkppq,,,,,,Λ=<<−=则称随机变量X服从参数为np的二项分布。记为),(~pnBX。nknkknnnnnpqpqpnpqqkXPXCC,,,,,,|)(ΛΛ−−−=容易验证满足离散型分布率的条件。当=n时kkqpkXP−==)(=k这就是()分布所以()分布是二项分布的特例。③泊松分布设随机变量X的分布律为λλ−==ekkXPk!)(>λΛ,,=k则称随机变量X服从参数为λ的泊松分布记为)(~λπX或者P(λ)。泊松分布为二项分布的极限分布(np=λn→∞)。④超几何分布),min(,,,,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM==•==−−Λ随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布。⑤几何分布Λ,,,,)(===−kpqkXPk其中p≥q=p。随机变量X服从参数为p的几何分布。⑥均匀分布设随机变量X的值只落在ab内其密度函数)(xf在ab上为常数k即⎩⎨⎧=,,)(kxf其他其中k=ab−则称随机变量X在ab上服从均匀分布记为X~U(ab)。分布函数为x<a,abax−−a≤x≤ba≤x≤b考研数学知识点概率统计Editedby杨凯钧年月∫∞−==xdxxfxF)()(当a≤x<x≤b时X落在区间(,xx)内的概率为P(∫∫−==<<)()xxxxabdxxfxXxabxxdx−−=。⑦指数分布设随机变量X的密度函数为其中>λ则称随机变量X服从参数为λ的指数分布。X的分布函数为记住几个积分:,=∫∞−dxxex,=∫∞−dxexx)!(−=∫∞−−ndxexxn∫∞−−=Γ)(dxexxαα)()(αααΓ=Γ⑧正态分布设随机变量X的密度函数为)()(σµσπ−−=xexf∞<<∞−x其中µ、>σ为常数则称随机变量X服从参数为µ、σ的正态分布或高斯(Gauss)分布记为),(~σµNX。)(xf具有如下性质:°)(xf的图形是关于µ=x对称的°当µ=x时σπµ)(=f为最大值°)(xf以ox轴为渐近线。特别当σ固定、改变µ时)(xf的图形形状不变只是集体沿ox轴平行移动所以µ又称为位置参数。当µ固定、改变σ时)(xf的图形形状要发生变化随σ变大)(xf图形的形状变得平坦所以又称σ为形状参数。若),(~σµNX则X的分布函数为dtexFxt∫∞−−−=)()(σµπσ。。参数=µ、=σ时的正态分布称为标准正态分布记为),(~NX其密度函数记为)(xex−=πϕ∞<<∞−x分布函数为dtexxt∫∞−−Φ)(π。)(xΦ是不可求积函数其函数值已编制成表可供查用。φ(x)和Φ(x)的性质如下:°φ(x)是偶函数φ(x)=φ(x)°当x=时φ(x)=π为最大值°Φ(x)=Φ(x)且Φ()=。如果X~),(σµN则σµ−X~),(N。所以我们可以通过变换将)(xF的计算转化为)(xΦ的计算而)(xΦ的值是可以通过查表得到的。⎟⎠⎞⎜⎝⎛−Φ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−Φ=≤<σµσµ)(xxxXxP。分位数的定义、随机变量函数的分布随机变量Y是随机变量X的函数)(XgY=若X的分布函数)(xFX或密度函数)(xfX知道则如何求出)(XgY=的分布函数)(yFY或密度函数)(yfY。()X是离散型随机变量已知X的分布列为ΛΛΛΛ,,,,,,,,)(nnipppxxxxXPX=显然)(XgY=的取值只可能是ΛΛ),(,),(),(nxgxgxg若)(ixg互不相等则Y的分布列如下:ΛΛΛΛ,,,,),(,),(),()(nnipppxgxgxgyYPY=x>b。=)(xf,xeλλ−≥x,,<x,=)(xF,xeλ−−≥x,,x<。考研数学知识点概率统计Editedby杨凯钧年月若有某些)(ixg相等则应将对应的iP相加作为)(ixg的概率。()X是连续型随机变量先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。三二维随机变量及其分布、二维随机变量的基本概念()二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布对于二维随机向量),(YX=ξ如果存在非负函数),)(,(∞<<−∞∞<<−∞yxyxf使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有∫∫=∈DdxdyyxfDYXP,),(}),{(则称ξ为连续型随机向量并称f(x,y)为ξ=(XY)的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面两个性质:()f(x,y)≥()∫∫∞∞−∞∞−=),(dxdyyxf一般来说当(XY)为连续型随机向量并且其联合分布密度为f(x,y)则X和Y的边缘分布密度为),()(),()(∫∫∞∞−∞∞−==dxyxfyfdyyxfxfYX注意:联合概率分布→边缘分布()条件分布当(XY)为离散型并且其联合分布律为),,,,()},(),{(Λ===jipyxYXPijji在已知X=xi的条件下Y取值的条件分布为,)|(•===iijijppxXyYP其中pi•,p•j分别为XY的边缘分布。当(XY)为连续型随机向量并且其联合分布密度为f(x,y)则在已知Y=y的条件下X的条件分布密度为)(),()|(yfyxfyxfY=在已知X=x的条件下Y的条件分布密度为)(),()|(xfyxfxyfX=其中)(,)(>>yfxfYX分别为XY的边缘分布密度。()常见的二维分布①均匀分布设随机向量(XY)的分布密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=其他,),(),(DyxSyxfD其中SD为区域D的面积则称(XY)服从D上的均匀分布记为(XY)~U(D)。②正态分布设随机向量(XY)的分布密度函数为,),())(()(⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−=σµσσµµρσµρρσπσyyxxeyxf其中||,,,,<>>ρσσµµ共个参数则称(XY)服从二维正态分布记为(XY)~N(),,,,ρσσµµ由边缘密度的计算公式可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布反推则错。即X~N()(~),,,σµσµNY()二维随机向量联合分布函数及其性质设(XY)为二维随机变量对于任意实数x,y,二元函数},{),(yYxXPyxF≤≤=称为二维随机向量(XY)的分布函数或称为随机变量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域以事件})(,)(|),{(yYxX≤<−∞≤<−∞ωωωω的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质:()),(≤≤yxF考研数学知识点概率统计Editedby杨凯钧年月()F(x,y)分别对x和y是非减的即当x>x时有F(x,y)≥F(x,y)当y>y时有F(x,y)≥F(x,y)()F(x,y)分别对x和y是右连续的即),(),(),,(),(==yxFyxFyxFyxF()),(,),(),(),(=∞∞=−∞=−∞=−∞−∞FxFyFF、随机变量的独立性()连续型随机变量f(x,y)=fX(x)fY(y)联合分布→边缘分布→f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断充要条件:①可分离变量②正概率密度区间为矩形()二维正态分布,),())(()(⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−=σµσσµµρσµρρσπσyyxxeyxfρ=()随机变量函数的独立性若X与Y独立h,g为连续函数则:h(X)和g(Y)独立。四随机变量的数字特征()一维随机变量及其函数的期望①设X是离散型随机变量其分布律为P(kxX=)=pkk=,,…,n∑==nkkkpxXE)(期望就是平均值。②设X是连续型随机变量其概率密度为f(x)∫∞∞−=dxxxfXE)()(③数学期望的性质()E(C)=C()E(CX)=CE(X)()E(XY)=E(X)E(Y)∑∑===niniiiiiXECXCE)()(()E(XY)=E(X)E(Y)充分条件:X和Y独立充要条件:X和Y不相关。()Y=g(X)离散:∑==nikkpxgYE)()(连续:∫∞∞−=dxxxfXE)()(∫∞∞−=dxxfxgYE)()()(()方差D(X)=EXE(X)方差)()(XDX=σ标准差①离散型随机变量∑−=kkkpXExXD)()(②连续型随机变量∫∞∞−−=dxxfXExXD)()()(③方差的性质()D(C)=E(C)=C()D(aX)=aD(X)E(aX)=aE(X)()D(aXb)=aD(X)E(aXb)=aE(X)b()D(X)=E(X)E(X)()D(XY)=D(X)D(Y)充分条件:X和Y独立充要条件:X和Y不相关。D(X±Y)=D(X)D(Y)±E(XE(X))(YE(Y))无条件成立。E(XY)=E(X)E(Y)无条件成立。()常见分布的数学期望和方差分布名称符号均值方差分布),(pBp)(pp−二项分布),(pnBnp)(pnp−泊松分布)(λPλλ几何分布)(pGppp−考研数学知识点概率统计Editedby杨凯钧年月超几何分布),,(NMnHNnM⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−NnNNMNnM均匀分布),(baUba)(ab−指数分布)(λeλλ正态分布),(σµNµσ①-分布XqpE(X)=pD(X)=pq②二项分布X~B(n,p)knkknnqpCkP−=)((k=,,…n)E(X)=npD(X)=npq③泊松分布P(λ)P(X=k)=!kexk−λk=,,…E(X)=λD(X)=λ④超几何分布nNknMNkMCCCkXP−−==)(E(X)=NnM⑤几何分布)(−==kpqkXPk=,,…E(X)=pD(X)=pq⑥均匀分布X~Ua,bf(x)=ab−a,bE(X)=baD(X)=)(ab−⑦指数分布f(x)=xeλλ−(x>)E(X)=λD(X)=λ⑧正态分布X~N(μ,σ))()(σµσπ−−=xexfE(X)=μD(X)=σ、二维随机变量的数字特征()协方差和相关系数对于随机变量X与Y称它们的二阶混合中心矩µ为X与Y的协方差或相关矩记为),cov(YXXY或σ即))())(((YEYXEXEXY−−==µσ与记号XYσ相对应X与Y的方差D(X)与D(Y)也可分别记为XXσ与YYσ。协方差有下面几个性质:(i)cov(X,Y)=cov(Y,X)(ii)cov(aX,bY)=abcov(X,Y)(iii)cov(XX,Y)=cov(X,Y)cov(X,Y)(iv)cov(X,Y)=E(XY)(E(X))(E(Y))对于随机变量X与Y如果D(X)>,D(Y)>则称)()(YDXDXYσ为X与Y的相关系数记作XYρ(有时可简记为ρ)。|ρ|≤当|ρ|=时称X与Y安全相关:完全相关⎩⎨⎧−==时负相关当时正相关当ρρ而当=ρ时称X与Y不相关。与相关系数有关的几个重要结论(i)若随机变量X与Y相互独立则=XYρ反之不真。(ii)若(XY)~N(ρσσµµ,,,,)则X与Y相互独立的充要条件是=ρ即X和Y不相关。(iii)以下五个命题是等价的:①=XYρ②cov(X,Y)=考研数学知识点概率统计Editedby杨凯钧年月③E(XY)=E(X)E(Y)④D(XY)=D(X)D(Y)⑤D(XY)=D(X)D(Y)()二维随机变量函数的期望⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∫∫∑∑∞∞∞∞--为连续型。为离散型),(),(),(),(),(),(YXdxdyyxfyxGYXpyxGYXGEijijji()原点矩和中心矩①对于正整数k称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩记为vk,即uk=E(Xk),k=,,…于是我们有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∫∑∞∞−,)(续型时为连当为离散型时当XdxxpxXpxukiikik②对于正整数k称随机变量X与E(X)差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩记为kµ即,,,))((Λ=−=kXEXEkkµ于是我们有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−=∫∑∞∞−,)())(())((续型时为连当为离散型时当XdxxpXExXpXExukiikik③对于随机变量X与Y如果有)(lkYXE存在则称之为X与Y的kl阶混合原点矩记为klu即))(())((YEYXEXEukkl−−=五大数定律和中心极限定理、切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E(X)=μ方差D(X)=σ则对于任意正数ε有下列切比雪夫不等式)(εσεµ≤≥−XP切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下对概率)(εµ≥−XP的一种估计它在理论上有重要意义。、大数定律()切比雪夫大数定律(要求方差有界)设随机变量XX…相互独立均具有有限方差且被同一常数C所界:D(Xi)<C(i=,,…),则对于任意的正数ε有)(lim=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛<−∑∑==∞→εniiniinXEnXnP特殊情形:若XX…具有相同的数学期望E(XI)=μ则上式成为lim=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛<−∑=∞→εµniinXnP或者简写成:()lim=<−∞→εµXPn切比雪夫大数定律指出n个相互独立且具有有限的相同的数学期望与方差的随机变量当n很大时它们的算术平均以很大的概率接近它们的数学期望。()伯努利大数定律设μ是n次独立试验中事件A发生的次数p是事件A在每次试验中发生的概率则对于任意的正数ε有lim=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛<−∞→εµpnPn伯努利大数定律说明当试验次数n很大时事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小即lim=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛≥−∞→εµpnPn这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。()辛钦大数定律(不要求存在方差)设XX…Xn…是相互独立同分布的随机变量序列且E(Xn)=μ则对于任意的正数ε有lim=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛<−∑=∞→εµniinXnP考研数学知识点概率统计Editedby杨凯钧年月、中心极限定理()列维-林德伯格定理设随机变量XX…相互独立服从同一分布且具有相同的数学期望和方差:),,()(,)(Λ=≠==kXDXEkkσµ则随机变量σµnnXYnkkn∑=−=的分布函数Fn(x)对任意的实数x有∫∑∞−−=∞→∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤−=xtnkknnndtexnnXPxFlim)(limπσµ或者简写成:),(NnXn⎯⎯→⎯−∞→σµ此定理也称为独立同分布的中心极限定理。()棣莫弗-拉普拉斯定理设随机变量X…Xn均为具有参数n,p(<p<)的二项分布则对于任意实数x,有∫∞−−∞→=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤−−=xtnndtexpnpnpXP)(limπ、二项定理和泊松定理()二项定理若当),(,不变时knpNMN→∞→则knkknNNknMNKMpPCCCC−−−−→)()(∞→N可见超几何分布的极限分布为二项分布。()泊松定理若当,>→∞→λnpn时则λλ−−→−ekpPCkknkkn!)()(∞→n其中k=…n…。六数理统计的基本概念、总体、个体和样本()总体与样本总体在数理统计中常把被考察对象的某一个(或多个)指标的全体称为总体(或母体)而把总体中的每一个单元称为样品(或个体)。在以后的讨论中我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量(或随机向量)。()样本函数与统计量设nxxx,,,Λ为总体的一个样本称ϕϕ=(nxxx,,,Λ)为样本函数其中ϕ为一个连续函数。如果ϕ中不包含任何未知参数则称ϕ(nxxx,,,Λ)为一个统计量。、统计量()常用统计量样本均值∑==niixnx样本方差∑=−−=niixxnS)((与概率论中的方差定义不同)样本标准差)(∑=−−=niixxnS样本k阶原点矩∑===nikikkxnM,,,Λ样本k阶中心矩∑==−=′nikikkxxnM,,,)(Λ(二阶中心矩∑=−=niiXXnS)(*与概率论中的方差定义相同)()统计量的期望和方差µ=)(XEnXD)(σ=考研数学知识点概率统计Editedby杨凯钧年月)(σ=SE)*(σnnSE−=,其中∑=−=niiXXnS)(*为二阶中心矩。、三个抽样分布(χ、t、F分布)()χ分布设n个随机变量nXXX,,,Λ相互独立且服从标准正态分布可以证明:它们的平方和∑==niiXW的分布密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛Γ=−−,,)(uueunufunn我们称随机变量W服从自由度为n的κ分布记为W~κ(n)其中dxexnxn−∞−∫=⎟⎠⎞⎜⎝⎛Γ所谓自由度是指独立正态随机变量的个数它是随机变量分布中的一个重要参数。κ分布满足可加性:设),(iinYκ−则)(~kkiinnnYZ=∑=Λκ注意两个结果:E(χ)=nD(χ)=n()t分布设XY是两个相互独立的随机变量且),(~),,(~nYNXκ可以证明:函数nYXT=的概率密度为)(−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛Γ⎟⎠⎞⎜⎝⎛Γ=nntnnntfπ)(∞<<−∞t我们称随机变量T服从自由度为n的t分布记为T~t(n)。注意两个结果:E(T)=D(T)=−nn(n>)()F分布设)(~),(~nYnXκκ且X与Y独立可以证明:nYnXF=的概率密度函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛Γ⎟⎠⎞⎜⎝⎛Γ⎟⎠⎞⎜⎝⎛Γ=−−,,)(yyynnynnnnnnyfnnnn我们称随机变量F服从第一个自由度为n第二个自由度为n的F分布记为F~f(n,n)正态分布ααµµ−=−)()(ntntαα−=−),(),(nnFnnFαα=−、正态总体下统计量的分布和性质注意一个定理:X与S独立。()正态分布设nxxx,,,Λ为来自正态总体),(σµN的一个样本则样本函数),(~Nnxudefσµ−()t分布设nxxx,,,Λ为来自正态总体考研数学知识点概率统计Editedby杨凯钧年月),(σµN的一个样本则样本函数),(~−−ntnSxtdefµ其中t(n)表示自由度为n的t分布。()κ分布设nxxx,,,Λ为来自正态总体),(σµN的一个样本则样本函数),(~)(−−nSnwdefκσ其中)(−nκ表示自由度为n的κ分布。()F分布设nxxx,,,Λ为来自正态总体),(σµN的一个样本而nyyy,,,Λ为来自正态总体),(σµN的一个样本则样本函数),,(~−−nnFSSFdefσσ其中,)(∑=−−=niixxnS)(∑=−−=niiyynS),(−−nnF表示第一自由度为−n第二自由度为−n的F分布。七参数估计、点估计的两种方法()矩法所谓矩法就是利用样本各阶原点矩与相应的总体矩来建立估计量应满足的方程从而求得未知参数估计量的方法。设总体X的分布中包含有未知数mθθθ,,,Λ则其分布函数可以表成),,,(mxFθθθΛ显示它的k阶原点矩),,,)((mkXEvkkΛ==中也包含了未知参数mθθθ,,,Λ即),,,(mkkvvθθθΛ=。又设nxxx,,,Λ为总体X的n个样本值其样本的k阶原点矩为∑=∧=nikikxnv),,,(mkΛ=这样我们按照“当参数等于其估计量时总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程即有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧===∑∑∑=∧∧∧=∧∧∧=∧∧∧nimimmniimniimxnvxnvxnv),,,(,),,,(,),,,(θθθθθθθθθΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ由上面的m个方程中解出的m个未知参数),,,(∧∧∧mθθθΛ即为参数(mθθθ,,,Λ)的矩估计量。()最大似然法所谓最大似然法就是当我们用样本的函数值估计总体参数时应使得当参数取这些值时所观测到的样本出现的概率为最大。当总体X为连续型随机变量时设其分布密度为),,,(mxfθθθΛ其中mθθθ,,,Λ为未知参数。又设nxxx,,,Λ为总体的一个样本称),,,(),,,(∏==nimimnxfLθθθθθθΛΛ为样本的似然函数简记为Ln当总体X为离型随机变量时设其分布律为),,,(}{mxpxXPθθθΛ==则称),,,(),,,,,,(∏==nimimnxpxxxLθθθθθθΛΛΛ为样本的似然函数。若似然函数),,,,,,(mnxxxLθθθΛΛ在m∧∧∧θθθ,,,Λ处取到最大值则称m∧∧∧θθθ,,,Λ分别为考研数学知识点概率统计Editedby杨凯钧年月mθθθ,,,Λ的最大似然估计值相应的统计量称为最大似然估计量。我们把使Ln达到最大的m∧∧∧θθθ,,,Λ分别作为mθθθ,,,Λ的估计量的方法称为最大似然估计法。由于lnx是一个递增函数所以Ln与lnLn同时达到最大值。我们称miLiiin,,,,lnΛ==∂∂∧=θθθ为似然方程。由多元微分学可知由似然方程可以求出),,,)(,,,(mixxxniiΛΛ==∧∧θθ为iθ的最大似然估计量。容易看出使得Ln达到最大的i∧θ也可以使这组样本值出现的可能性最大。、估计量的评选标准()无偏性设),,,,(nxxxΛ∧∧=θθ为求知参数θ的估计量。若E(∧θ)=θ则称∧θ为θ的无偏估计量。若总体X的均值E(X)和方差D(X)存在则样本均值x和样本方差S分别为E(X)和D(X)的无偏估计即E(x)=E(X)E(S)=D(X)。()有效性设),,,,(nxxxΛ∧∧=θθ和),,,,(nxxxΛ∧∧=θθ是未知参数θ的两个无偏估计量。若)(∧∧<θθDD则称∧∧θθ比有效。()一致性(相合性)设n∧θ是θ的一串估计量如果对于任意的正数ε都有,)|(|lim=>−∧∞→εθθnnP则称n∧θ为θ的一致估计量(或相合估计量)。、区间估计()置信区间和置信度设总体X含有一个待估的未知参数θ。如果我们从样本nxxx,,,,Λ出发找出两个统计量),,,,(nxxxΛθθ=与),,,,(nxxxΛθθ=)(θθ<使得区间,θθ以)(<<−αα的概率包含这个待估参数θ即,}{αθθθ−=≤≤P那么称区间,θθ为θ的置信区间α−为该区间的置信度(或置信水平)。()单正态总体的期望和方差的区间估计设nxxx,,,,Λ为总体),(~σµNX的一个样本在置信度为α−下我们来确定σµ和的置信区间,θθ。具体步骤如下:(i)选择样本函数(ii)由置信度α−查表找分位数(iii)导出置信区间,θθ。下面分三种情况来讨论。①已知方差估计均值(i)选择样本函数设方差σσ=其中σ为已知数。我们知道µ是∑==niixnx的一个点估计并且知道包含未知参数µ的样本函数。),(~Nnxuσµ−=(ii)查表找分位数对于给定的置信度α−查正态分布分位数表找出分位数λ使得=≤)|(|λuPα−。即考研数学知识点概率统计Editedby杨凯钧年月αλσµλ−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛≤−≤−nxP(iii)导出置信区间由不等式λσµλ≤−≤−)(nx推得,nxnxσλµσλ≤≤−这就是说随机区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡−nxnx,σλσλ以α−的概率包含µ。②未知方差估计均值(i)选择样本函数设nxxx,,,,Λ为总体),(σµN的一个样本由于σ是未知的不能再选取样本函数u。这时可用样本方差∑=−−=niixxnS)(来代替σ而选取样本函数)(~−−=ntnSxtµ(ii)查表找分位数对于给定的置信度α−查t分位数表找出分位数λ使得=≤)|(|λuPα−。即αλµλ−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛≤−≤−nSxP(iii)导出置信区间由不等式λσµλ≤−≤−)(nx推得,nSxnSxλµλ≤≤−这就是说随机区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡−nSxnSxλλ,以α−的概率包含µ。③方差的区间估计(i)选择样本函数设nxxx,,,,Λ为来自总

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