谈谈我学习动态几何的体会

还原古代数学真相 谈谈我学习动态几何的体会 彭翕成 华中师范大学 国家数字化学习工程技术研究中心 武汉 430079 这几年，我发 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 了一些关于动态几何的文章，出版了相关著作，也在网络上共享了不少资源。因此常被人问起：如何学习动态几何。国内有许多研究动态几何的高手，不论从技术，还是教学实践中的使用，胜于我者不在少数。但我还是想来谈谈这个问题，算是个人 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 吧。 很多软件，譬如Word，功能很多，但只要知道了各个菜单的功能，使用起来就非常简单了；那些不常用的功能甚至不需要记，用的时候搜索帮助文件就可以了。动态几何软件则不同，譬如几何画板，菜单不多，且每个下拉菜单的长度很短，二级菜单更是寥寥无几。但这并不意味着几何画板就容易掌握，因为若干平凡功能的复合可能会变得不平凡。 我学习动态几何，分为几何画板和超级画板两个阶段。 我从2003年开始学习几何画板。自学，没有老师，没有教材，只是在网上下载了软件和几个课件。我花了一个星期的时间熟悉软件，知道了哪个菜单下有哪些工具，这些工具能够完成哪些功能，而要使用这些工具，需要先作什么。譬如希望作一个点在多边形周界上运动，需要先选择各顶点，构造出多边形内部，才能作出多边形周界上的点。 初学者最容易上手，也最容易被震撼的要数动态测量功能了。作一个几何图形，加上一些测量和计算，再拖动，就能从变化中发现不变的规律。我当时已经打算从事数学教育方面的工作了，觉得应该好好学习动态几何，将之作为一技之长。但那时，自学能力较差，不知道如何去网上搜索资源，寻求帮助，于是之后的一年多时间都没有什么大的进步。 记得有一次，我想作一个椭圆，想了好几天，没作出来，心里很是埋怨，难道几何画板只能作平面几何图形，不能运用于解析几何么？最后还是在网上找到了作法。 还有一次，我想作“过圆外一点P作圆的切线”，想了很久，被我想出来了，开心不已。虽然说穿了是如此简单：如图1，连接OP，作中点M，以M为圆心，MO为半径作圆交 于N，则PN即为所求作的切线；不过就是用到“直径所对的角是直角”这一简单的知识点，但我后来的几何画板 培训 焊锡培训资料ppt免费下载焊接培训教程 ppt 下载特设培训下载班长管理培训下载培训时间表下载 实践表明，如果以前没有这方面的学习，能够将平时用来解题的知识点运用到作图中来的人并不多。 图1 2004年，我买了几本几何画板的书，在网上也下载了一些资料，特别是我加入了当时积聚国内众多高手的几何画板论坛：求师德，通过学习高手的作品，我的水平有了较大的进步。现在回想起来，几何画板的学习窍门也就两点而已：不断追溯父子对象；创建新工具，查看脚本。 在求师德论坛的日子是令人难忘的，这不仅仅是我个人的感受，也是许多动态几何爱好者的心声。求师德的网友，不论是对新手的教导，还是同水平的人切磋，都是坦诚相见，毫不保留，所以大家的水平上升得都很快。国内一些中学数学网站，讨论也颇为热烈，但一遇到关键问题，高手们大都打住不讲了，因为他们需要以此发表文章。求师德的网友钻研技术的很多，热衷于写文章的好像很少。我曾经建议求师德的高手们写点文章，因为杂志上相当多的动态几何文章所作研究并不深入，甚至可能会误导人。可惜我的建议并不被多少网友接受。求师德论坛后来关闭了，具体原因我不太清楚，这是让很多动态几何爱好者感到惋惜的。 2006年起，我开始转向超级画板的研究。超级画板由于吸收了几何画板一些优点，增加了很多功能，使得入门时间大大缩短，使用起来也更加方便。 不可避免地，我会对这两个软件进行比较。几何画板确实是一款非常优秀的数学软件，但很多的 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 还是可以改进的。就拿前面所说的作圆的切线来说，原始的尺规作图方式有其存在的意义，但作为一个现代化的工具来说，其作法能否更加直接，效率进一步地提高呢？超级画板的智能画笔就做到了这一点。在保证动态几何性质的前提下，充分考虑中学老师的使用习惯，顺手一画即可完成任务。而且超级画板并不否定尺规作图法，用户可以选择原始 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 来锻炼基本功，也可以采用先进方法迅速作出基本图形，进一步探究以求获得新的知识。 又如作多边形上的点，从数学上来说，选择多边形各个顶点就应该能够作出了，何必一定要先构造多边形内部呢？在这一问题上，超级画板比几何画板更符合数学本质。 至于原来让我头痛的几何画板探究圆锥曲线，在使用超级画板之后也变得轻松了，因为超级画板在解析几何方面提供了相当强大的功能。近几年，随着动态几何研究队伍的扩大，网上这方面的资料越来越多了，随便一搜，光是椭圆的作法，至少能搜出二十几种。这些作法，了解一下是很有好处的，它与“茴字的四种写法”有着本质的不同。每一种作法都反映了圆锥曲线的某些性质。掌握这些作法，对研究解析几何大有裨益。但也必须注意到，由于几何画板缺少最根本的解析几何作图功能：输入二次曲线方程作图，这让相当多的用户苦恼。 高手们总是会想出各种方法来补救现有软件的不足，他们的研究热情，所付出的努力，是一般人难以想象的。譬如几何画板4.0不能构造函数与直线的交点，很多画板爱好者花费大量时间，想出各种近似作法，但这些作法也仅在高手中流传，因为一般人难以掌握这些技巧。但几何画板5.0的推出，交点功能的改善使得这一问题变得简单。这说明，软件开发者多为用户着想，多做一些工作，就能使得数以万计的用户节省时间，提高效率。 学习动态几何并不需要你有多高的计算机水平。培训实践表明，在最开始的入门阶段，计算机老师比数学老师要快，而一旦过了这一阶段，数学老师就远远地把计算机老师甩在后面。原因也很简单，虽然软件的操作是基础，不掌握基本操作，很多想法都无法实现，但最终决定动态几何水平高低的，还是看谁有扎实的数学功底，特别是平面几何作图方面。 在传统几何学习中，作图与计算、证明三者的地位是并列的，而近些年，中学已经大大删减如何作图了。为了学好动态几何，我曾经下功夫研究过一些作图。譬如已知三角形两边和第三边的角平分线长作三角形。我最早的作法是：如图2，以C为圆心，分别以 、 、 为半径作圆；在半径为 、 的圆上任取A、B两点，在AB线段上作比例点D，使得 ；然后拖动B，使得D刚好落在半径为 的圆上。这样作图，显然不符合动态几何作图要求，因为一拖动就会散架，不能保持几何性质。但我觉得动态几何的这种近似作图也有其存在的意义，直到现在，面对这种几何约束作图，不少杂志社、出版社束手无策，随手所作图形差错十分明显。他们确实有学一下动态几何的必要了。 我后来想出了此题的尺规作法，但在此处，我却想着重介绍另外一题：在△ABC的BC边上，作点M使得△ABM和△ACM的内切圆半径相等。我最初也是采用近似作法。为了得到准确作法，我问了不少人，没人会做。查了很多资料，最后在一本40年代的几何书上找到了作法（后来发现梁绍鸿的《初等数学复习及研究（平面几何）》也有），才作出图来。 图2 图3 作法：如图3， （1）BC的中垂线DE交△ABC的外接圆于E； （2）作△ABC的内心F；以E为圆心，EB为半径作圆；FE交圆E于G； （3）过A作GB的平行线交BF于H；过A作GC的平行线交CF于I； （4）作AB关于AH的对称直线交BC于M； 其中M即为题目所求。H、I分别为△ABM和△ACM的内切圆圆心。 图3作法巧妙，是很难想到的。也许有人会问：这个问题和动态几何有什么关系呢？根本就是个数学题嘛！的确如此。因为我们研究动态几何的根本目的就在于研究数学，而不是研究软件本身。随着软件的发展，这种几何约束作图也会变得容易，譬如Geometry Expressions就在这方面已经作出了相当不错的尝试。 接下来，我想尝试回答一个问题。 一直以来，有人对动态几何的作用提出质疑，其典型观点是：利用动态几何软件，不管是超级画板还是几何画板，很多题目确实一作图、一测量就出来结果了。但学生考试的时候，是不能使用计算机的，而且通过动态测量发现的也只是结果，没有解题过程。 众所周知，但凡能够让人产生依赖的东西必然有其独特之处，譬如一本好的复习资料，一个好的家教，虽然有学生过分依赖好的复习资料和好的家教，上课听课不认真了，但并不能因此就否定复习资料和家教的作用。 一件事物在一定条件下能够发挥作用帮助到你，就说明它是有用的，这就够了，我们不能求全责备，一定要它包打天下才行。就好比有人反对负数，理由是：你见过-1个人么？确实，我们没有见过-1个人，但却存在-1℃。这就说明负数有存在的意义。 下面这个案例应该能够在一定程度上说明问题。 有学生问我这样一个题目：如图4，在正方形ABCD中，过点D作对角线AC的平行线，在平行线上作点E，使得 ，CE交AD于F，求证： 。 图4 图5 我给出的证明：如图5，作 ，设BD交AC于O，显然四边形EDOI是矩形， ，所以 ，易得 ，所以 。 但此题并没有到此结束，还可以探究。细心的读者会发现图5中作的垂足标签为I，按常理，紧接下来的标签应该是G！这是因为我看到题目时，就感觉图4只是题目叙述的可能情况之一。一般的解题者对题目给出的图形比较依赖；而长期使用动态几何的人解题时，则会不自觉地去尝试重新作图，即使不动手，也会在心里面把作图步骤走一遍。 对于此题，在作好正方形ABCD后，寻找满足条件的E时，通常是以C为圆心，CA为半径作圆，很明显圆与平行线的交点不止一点E，还有一点G，也满足 。在前面证明的基础上，我们容易证明 。如图6，作 ，显然 ，所以 ，易得 ，所以 。 我把进一步的探究和学生讲了之后，学生很佩服。因为在他看来，老师会解题，这是老师应该会的，不算什么；但老师能够拿到题还能有新发现，说明老师很有水平。 图6 一个人在长期使用动态几何软件之后，是否能摆脱软件，达到手上无画板，心中有画板的境界呢？理智告诉我，这几乎不可能，至少我个人是做不到这一点。但我坚信，长期使用动态几何会使人加深对数学的理解；而使用Flash或PPT，则很难帮助你提高数学水平。我坚信，所以我坚持。 补充：已知三角形两边和第三边的角平分线长作三角形。 尺规作法分析：如图，假设△ABC为所求作，设CD是它的角平分线。引边BC的平行线MD（点M在边AC上）。因为 ，△CMD是等腰三角形。因为 ，且 ，所以 。根据 和腰 作出等腰△CMD。然后在射线CM上截取线段 。又在射线CM关于直线CD对称的射线上截取线段 。 如果感觉解答此问题有困难，可先解决“已知三角形两边和第三边的中线长作三角形” 问题。而要以 ， ， 作三角形，可先以 ， ， 作三角形。接下来的作图根据中点的性质就很简单了。