信号及其描述习题 信号及其描述习题 1.1求周期方波（图1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式）。画出频谱图|Cn|—ω ；φn—ω 图并与
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1-1对比。 解：傅立叶级数的复指数形式表达式： 式中： 所以： 幅值频谱： 相位频谱： 傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。 1.2求正弦信号 x(t)=x0sinωt的绝对均值μ|x |和均方根值x rms 解： 1.3求指数函数 的频谱。 解： 1.4求符号函数（题图1-1a）和单位阶跃函数（题图1-1b）的频谱. 解:1) 符号函数的频谱: 令: 2)单位阶跃函数的频谱: 1.5求被截断的余弦函数cosω0t（题图1-2）的傅立叶变换。 解： 1.6求指数衰减振荡信号（见图1-11b）： 的频谱 解： 1.7设有一时间函数f(t)及其频谱(题图1-3所示)，现乘以余弦型振荡cosω0t ，(ω0>ωm)。在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦型振荡cosω0t叫做载波。试求调幅信号f(t)cosω0t的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0<ωm时将会出现什么情况？ 解： 当ω0<ωm时，将会出现频率混叠现象 1.8求正弦信号x(t)=x0sin（ω0t+φ）的均值μx 和均方值φx2和概率密度函数p(x) 解：将x(t)=x0sin（ω0t+φ）写成（ω0t+φ）=arcsin(x(t)/ x0) 等式两边对x求导数： 2.2用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s，2s，5s的正弦信号，问幅值误差将是多少？ 解： 当T=1s时， ，即 ，误差为59% 当T=2s时， ，误差为33% 当T=5s时， ，误差为8% 2.3求周期信号 ，通过传递函数为 的装置后所得到的稳态响应。 解： 利用叠加原理及频率保持性解题 ， ， ， ， ， ， 2.7将信号 输入一个传递函数为 的一阶装置后，试求其包括瞬态过程在内的输出 的表达式。 解： ， ， = 2.8求频率响应函数 的系统对正弦输入 的稳态响应的均值显示。 解： 写成标准形式 ∴ 对正弦波， 2.9试求传递函数分别为 和 的两个环节串联后组成的系统的总灵敏度（不考虑负载效应） 解： ， ， 2.10想用一个一阶系统作100Hz正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5%以内，则时间 单常数应去多少？若用该系统测试50Hz正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？ 解： 由振幅误差 ∴ 即 ， ， 当 ，且 时 ∴ 此时振幅误差 2.11某力传感器可以作为二阶振荡系统处理。已知传感器的固有频率为800Hz，阻尼比 ，问使用该传感器作频率为400Hz的正弦力测试时，其振幅比 和相角差 各为多少？若该装置的阻尼比可改为 ，问 和 又将作何种变化？ 解： 作频率为400Hz的正弦力测试时 当阻尼比改为 时 即阻尼比变化时，二阶振荡系统的输出副值变小，同时相位角也变化剧烈，相位差变大。 2.12对一个可视为二阶系统的装置输入一单位阶跃函数后，测得其响应中产生了数值为1.5的第一个超调量峰值。同时测得其振荡周期为6.28s。设已知该装置的静态增益为3，试求该装置的传递函数和该装置在无阻尼固有频率处的频率响应。 解： 最大超调量 即 且 ∴ 系统的传递函数 该装置在无阻尼固有频率处的频率响应 由 ∴ 为有阻尼固有频率 M=0.5， ，∴ S=3 ∴ （ 时代入得） 4.1解 ：=2m时， 单臂， 双臂， ：=2000m时， 单臂， 双臂， 双臂的灵敏度比单臂的提高一倍。 4.4解： 4.5解： 4.10 解： 4.11 解： 5.1 5.2 由同频相关，不同频不相关得： 5.3：由图可写出方波的基波为 5.4: 5.5:见图5-16 5.6:由自相关函数的性质可知: 5.7:由对称性性质: f
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