nullnull 概 率 论第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布关键词：
二维随机变量
分布函数 分布律 概率密度
边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度
条件分布函数 条件分布律 条件概率密度
随机变量的独立性
Z=X+Y的概率密度
M=max(X,Y)的概率密度
N=min(X,Y)的概率密度§1 二维随机变量§1 二维随机变量问题的提出
例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身 高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需 要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身 高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一 样本空间的两个随机变量。
例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的 弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而 它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。null定义：设E是一个随机试验，样本空间S={e}；
设X=X(e)和Y=Y(e)是定义
在S上的随机变量，由它们构成的
向量(X,Y)叫做二维随机向量
或二维随机变量。定义：设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y，
二元函数
称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。 分布函数 的性质 分布函数 的性质null二维离散型随机变量二维离散型随机变量 定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有 限对或可列无限对，则称(X,Y)是离散型随机变量。离散型随机变量的联合概率分布：
为二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布。
可以用如右表格表示： 分布律的性质 分布律的性质 例1：设随机变量X在1、2、3、4四个整数中等可能地取 一个值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一 整数值，试求(X,Y)的联合概率分布。 解：(X=i,Y=j)的取值情况为：i=1,2,3,4；
j取不大于i的正整数。即(X,Y)的联合概率分布为：null 二维连续型随机变量 二维连续型随机变量null null 例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度： nullnull 例4：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度
(1) 求常数k；(2) 求概率
解：§2 边缘分布§2 边缘分布 二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数
其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数
记为： 称为边缘分布函数。事实上，null对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为X,Y的边缘分布律为：注意：null对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为事实上， 同理： X,Y的边缘概率密度为：null null 例2：(X,Y)的联合分布律为
求：(1)a,b的值；
(2)X,Y的边缘分布律；
(3) (2) 解：
(1) 由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4null 例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机 变量(X,Y)具有概率密度
则称(X,Y)在G上服从均匀分布。
现设(X,Y)在有界区域 上均匀分布，其概 率密度为 求边缘概率密度
解：null null§3 条件分布§3 条件分布 正如对两事件A,B，若 可以考虑条件概率 一样，对二维离散型随机变量(X,Y)，其分布律为：
我们也可以考虑条件概率 由条件概率公式可得：null 定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量，
对于固定的yj，同样，对于固定的xi，null 例1：盒子里装有3只黑球，4只红球，3只白球，在其中
任取2球，以X表示取到黑球的数目，Y表示取到红球
的只数。求
（1）X，Y的联合分布率；
（2）X=1时Y的条件分布率；
(3) Y=0时X的条件分布率。
解：X, Y的联合分布率为null故在X=1的条件下，Y的分布律为： 同理P(Y=0)=1/5，故在Y=0的条件下，X的分布律为：null 例2：一射手进行射击，击中目标的概率为 射击直至击 中目标两次为止，设以X表示首次击中目标所进行的射击次 数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律和 条件分布律。
解： nullnull 定义：条件分布函数null 定义：条件概率密度null由定义：事实上，null 例3：设二维随机变量(X,Y)在区域{(x,y): y
标准
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正态随机变量，求
的概率密度。 解：由卷积公式：一般：设X,Y相互独立，null 例2：X,Y相互独立，同时服从[0,1]上的均匀分布，求
的概率密度。 解：根据卷积公式：易知仅当参考图得：null 例3：设X,Y相互独立、服从相同的指数分布，概率密度 为： 求 的概率密度。 解：根据卷积公式：null一般的，可以证明：
若X,Y相互独立，且分别服从参数为
X,Y的概率密度分别为
证明：这是例3的推广，由卷积公式null null 推广到n个相互独立的随机变量的情况
设X1,X2,…,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为：
则：
null null 例5：设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联结而成，联 结的方式分别为：(1)串联；(2)并联；
(3)备用(当系统L1损坏时，系统L2开始工作)。
如图，设L1,L2的寿命分别为X,Y，已知它们的概率 密度分别为：
试分别就以上三种联结方式写出L的寿命Z的概率密度。
null串联的情况
由于当L1,L2中由一个损坏时，系统L就停止工作，所以L的寿命为Z=min(X,Y)；
而X,Y的分布函数分别为：
故Z的分布函数为：
于是Z的概率密度为：即Z仍服从指数分布null 并联的情况
由于当且仅当L1,L2都损坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命为Z=max(X,Y)，Z的分布函数为：
于是Z的概率密度为：null 备用的情况
由于这时当系统L1损坏时，系统L2才开始工作，因此整个系统L的寿命Z是L1,L2寿命之和，即Z=X+Y；
因此：复习思考题 3复习思考题 31.设(X,Y)为二维向量，
则P{x1
计算公式
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：null 例1：设随机变量X具有数学期望null 例2：设随机变量X具有0-1分布，其分布律为：
解：
null 例3：
解：
null 例4：解：X的概率密度为：null 例5：设随机变量X服从指数分布，其概率密度 为：即对指数分布而言，方差是均值的平方，而均值恰为参数θnull方差的性质：
null证明：null 例6：null 例7：
解：
nullnull例8：设活塞的直径(以cm计) 汽缸的直径 X,Y相互独 立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活 塞能装入汽缸的概率。
表1 几种常见分布的均值与方差表1 几种常见分布的均值与方差数学期望 方差 分布率或 密度函数 分布§3 协方差及相关系数§3 协方差及相关系数
对于二维随机变量(X,Y)，除了讨论X与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征。这就是本节的内容。
定义： null协方差的性质：
null 相关系数的性质：续nullnullnull 例1：设X,Y服从同一分布，其分布律为：
X -1 0 1
P 1/4 1/2 1/4
已知P(X = Y )=0,判断X和Y是否不相关？是否
不独立？ nullnull 续null续nullnull 例3：设X,Y相互独立服从同一分布，
记U=X-Y,V=X+Y,则随机变量U与V是否一
定不相关，是否一定独立？§4 矩、协方差矩阵 §4 矩、协方差矩阵 nullnull 利用协方差矩阵，可由二维正态变量的概率密度推广，得到n维正态变量的概率密度。nullnulln维正态变量具有以下四条重要性质：复习思考题 4复习思考题 41.叙述E(X)和D(X)的定义。
null4.试述计算随机变量X的函数g(X)的数学期望E[g(X)]的两种方法。
5.设X～N(μ,σ2),用如下两种方法求E(X2)：
(1)E(X2)=D(X)+[E(X)]2=σ2+μ2；
(2) E(X2)=E(X.X)=E(X). E(X)=μ2；
两种结果不一样，哪一种错？为什么？
6.设X和Y为两随机变量，且已知D(X)=6, D(Y)=7,
则D(X－Y)=D(X)－D(Y)=6－7=－1<0,这与任意一个随机变量的方
差都不小于零相矛盾，为什么？null7.考虑100包水泥的总重量Y用以下两种方式表示：
(1)设第i袋水泥的重量为Xi , i=1,2,…,100, 由题意知,
Xi ～N(50,2.52),Y=∑Xi , 则Y～N(100*50,100*2.52)；
(2)设一包水泥的重量为X, 由题意知 X～N(50,2.52)。
若将100包水泥的总重量看成是1包水泥的100倍，即Y=100X, Y是X的线性函数，则：
E(Y)=100E(X)=100*50, D(Y)=1002D(X)=1002*2.52
Y～N(100*50,1002*2.52)
这两种方法得到的总重量的分布不一样(因为方差不同，后
者方差是前者的100倍)，
试问哪一种正确？
8.试问D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)对吗？null课件结束!
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