函数的奇偶性 ---------函数的奇偶性和奇偶性的应用 函数的奇偶性定义 1. 偶函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. 2. 奇函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做奇函数. 注意: 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称). ③ 奇函数f(0)=0 (二)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称; 奇函数的图象关于原点对称. 【例】判断下列函数是否是偶函数. (1) (2) 解析:函数 不是偶函数,因为它的定义域关于原点不对称. 函数 也不是偶函数,因为它的定义域为 ,并不关于原点对称. 练习:判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) 【奇偶性的判断、证明】 1、下列判断正确的是( ) A 函数 是奇函数 B 函数 是偶函数 C 函数 是非奇非偶函数 D 函数 既是奇函数又是偶函数 2、已知函数 , ,则 的奇偶性依次为( ) A 偶函数,奇函数 B 奇函数,偶函数 C 偶函数,偶函数 D 奇函数,奇函数 3、函数 是( ) A 是奇函数又是减函数 B 是奇函数但不是减函数 C 是减函数但不是奇函数 D 不是奇函数也不是减函数 4、设 是定义在 上的一个函数,则函数 在 上一定是( ) A 奇函数 B 偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶函数 5、判断下列函数的奇偶性 (1) (2) 6、判断函数 的奇偶性并证明。 7、判断下列函数的奇偶性: ; ; ( ) 【奇偶性的性质、应用】 1、已知函数 为偶函数,则 的值是( ) A B C D 2、如果奇函数 在区间 上是增函数且最大值为 ,那么 在区间 上是( ) A 增函数且最小值是 B 增函数且最大值是 C 减函数且最大值是 D 减函数且最小值是 3、函数 ,则下列坐标
表
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示的点一定在函数f(x)图象上的是( ) A B C D 4、、设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(-3)=-2,则f(3)+f(0)=( C) A.3 B.-3 C.2 D.7 5、对于定义在R上的任何奇函数,均有( ) A.f(x)·f(-x)≤0 B.f(x)-f(-x)≤0 C.f(x)·f(-x)>0 D.f(x)-f(-x)>0 6、设 是 上的奇函数,且当 时, ,则当 时 ________________ 7、已知定义在 上的奇函数 ,当 时, ,那么 时, 8、若函数 在 上是奇函数,则 的解析式为________ 9、设函数 与 的定义域是 且 , 是偶函数, 是奇函数,且 ,求 和 的解析式 10、已知 是定义在R上的函数,设 , 试判断 的奇偶性; 【更多练习】 若函数 ( )为偶函数,且在 上为增函数,则 ________ (填“>”或“<”). 是定义在 上的奇函数,若 则下列各式中一定成立的是 ( ) A. B. C. D. 下列函数中图像关于原点中心对称的是( )。 A. B. , C. D. 已知函数 为偶函数,则实数 ( )。 A. B. 0 C. 1 D. 或1 5. 已知函数 为偶函数,则实数 ( )。