微分方程模型

nullnull第三章 微分方程方法建模3.1 微分方程建模 3.2 草地水量模型 3.3 经济增长模型 3.4 传染病模型 null微分方程模型属于动态模型 描述所研究对象特征随时间(空间)的演变过程 分析所研究对象特征的变化规律 预报所研究对象特征的未来性态 研究控制所研究对象特征的手段 根据函数及其变化率(导数)之间的关系确定函数微分方程建模方法 根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律(模式)或用类比法建立微分方程3.1 微分方程建模null3.1.1 人的体重 3.1.2 常微分方程建模基本准则3.1 微分方程建模null 3.1.1 人的体重 某人的食量是10467（焦/天），其中5038（焦/天）用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/公斤·天）乘以他的体重(公斤)。 假设以脂肪形式贮藏的热量100％的有效，而1公斤脂肪含热量41868焦。问题研究此人的体重随时间变化的规律null问题分析体重w时间t函数w(t), 连续可微找到体重w(t)满足的微分方程即可求出函数w(t) 3.1.1 人的体重null由题意可知, “每天”体重变化应满足下面描述 输出＝进行健身训练时的消耗进一步分析体重的变化＝输入－输出输入＝扣除基本的新陈代谢之后的净重量吸收 体重的变化/天＝净吸收量/天－运动消耗/天 导数意义的陈述净吸收量/天＝10467(焦/天)－5038(焦/天)＝5429(焦/天) 运动消耗/天＝69焦(/公斤·天)×w(t)(公斤) 3.1.1 人的体重null 体重的变化/天＝ (公斤/天) （公斤/天） 将两单位换算成统一形式： 连续函数w(t)的瞬时关系满足下面关系式模型建立＝ 3.1.1 人的体重null由上述分析，体重w(t)满足下面关系式 两边的物理单位量纲一致，令 模型建立 3.1.1 人的体重null分离变量法 0到t 积分 3.1.1 人的体重模型求解null由上述 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达可知，随着时间的变化，人的体重最终 趋于一种平稳的值 模型解释 3.1.1 人的体重null常微分方程建模应符合下面基本准则： 模式：找出问题遵循的模式，大致可按下面两种方法： 1）利用熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律， 对某些实际问题直接列出微分方程； 2）模拟近似法，在生物、经济等学科中，许多现象所满足 的规律并不清楚，而且现象也相当复杂，但都可以遵循下 面的模式 改变率＝净变化率＝输入率－输出率翻译：将研究的对象翻译成为时间变量的连续函数；转化：在实际问题中, 有许多表示导数的常用词，如“速 率”, “增长率”(在生物学、人口学问题研究中), “衰变率”(在 放射性问题中)及“边际”(在经济学中)等； 3.1.1 常微分方程建模基本准则null确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界 上的信息，它们独立于微分方程而成立，用于确定有关 的常数，为了完整、充分地给出问题陈述，应将这些给 定的条件和微分方程一起给出。单位：在建模中应注意每一项应采用同样的物理单位；常微分方程建模应符合下面基本准则： 3.1.1 常微分方程建模基本准则null3.2 草地水量模型草地网球比赛常因下雨而被迫中断，只有草坪的最上层充分干以后，才能够继续比赛。雨停之后，部分雨水直接渗入地下，部分蒸发到空气中去。一些机械装置可以用来加速干燥过程，但为避免损伤草皮，最好让草地自然地变干，能否建立一个数学模型描述这一干燥过程.问题null草地开始是干的，突然开始下雨，雨大约 持续c小时, 雨在草地中聚积了h厘米高的水;需要建立模型求出Q(t)，并能预测下雨后多长时间t1 ，使Q(t1)=0。问题陈述3.2 草地水量模型由此可将研究对象视为草地积水量Q, 它是时间t 的函数.雨停后，通过渗入、蒸发使草地的积水减 少，最终自然变干，恢复比赛。null2．渗透率、蒸发率与草地的水量成正比，不考虑 空气中的湿度与温度；3．降雨速度为常数。模型假设1．开始时草地是干的,下雨时只考虑渗透排水,雨停 后水是通过渗透,蒸发排除的,其它因素不考虑。3.2 草地水量模型null问题分析若草地是干的，即Q(0)=0。 草地积了h厘米高的水量 流出量(渗透、蒸发过程)由此本模型应遵循下面的模式： 草地积水量的改变量＝流入量－流出量 （1）r米/秒降雨速度持续c小时下雨时开始时停雨后水的流入量（降雨过程）流出量（渗透过程）草地水量的改变草地水量的改变3.2 草地水量模型null草地积水量的改变量＝ 流入量－流出量 ＝ 模型建立A （平方米）: 草地的面积3.2 草地水量模型null数值计算：不妨假设降雨半小时, 即c=1800秒, 此时草地积水深h=0.018米, 降雨速度在半小时 为方便直接给出a=0.001/秒, b=0.0005/秒,将所取数值代入(2)式整理方程，得若给出有关草地进水足够信息，就可由(2)式求出Q(t)；模型求解参数a, b可以通过参数辨识方法得到。3.2 草地水量模型null模型求解3.2 草地水量模型null模型求解（3）式能预测雨停后草地中水是如何随时间变化减少的3.2 草地水量模型null但在实际比赛中一般要求水量降至最高水量值的10％ 就认为草地足够干，也就是说只要达到Q(t1)=10% Q (1800)即可。即在雨停后t1-1800时即可恢复比赛。令t1 满足(3)式，得 雨停后还要等1534秒(约25分)才能恢复比赛.若水 量降到最大值5%, 需要大约33分钟可以恢复比赛。模型求解本问题是确定比赛何时才能恢复，即t1为何值时使得 Q(t1)=0。而由(3)式可知,当 t 趋于无穷大时,Q(t)趋于 零，所以这样的t1是不存在的。3.2 草地水量模型null增加生产 发展经济 建立产值与资金、劳动力之间的关系 研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大 调节资金与劳动力的增长率,使经济(生产率)增长3.3 经济增长模型分析：null 产值 Q(t)(F为待定函数)劳动力 L(t)技术 f(t)= f0 3.3.1 道格拉斯(Douglas)生产函数资金K(t)3.3 经济增长模型null模型假设与建立z 随着 y 的增加而增长，但增长速度递减含义？Douglas生产函数对于固定时刻t3.3.1 道格拉斯生产函数nullQK ~ 单位资金创造的产值QL ~ 单位劳动力创造的产值 ~ 资金在产值中的份额1- ~劳动力在产值中的份额更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数模型解释3.3.1 道格拉斯生产函数nullw , r ,    K/L 求资金与劳动力的分配比例K/L(每个劳动力占有的资金) ，使效益S最大资金和劳动力创造的效益资金来自贷款，利率 r劳动力付工资 w3.3.2 资金与劳动力的最佳分配（静态模型）null3.3.3 经济(生产率)增长的条件 (动态模型)要使 Q(t) 或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增长, K(t), L(t)应满足的条件模型假设 投资增长率与产值成正比 (用一定比例扩大再生产) 劳动力相对增长率为常数nullBernoulli方程3.3.3 经济增长的条件null产值Q(t)增长3.3.3 经济增长的条件null劳动力增长率小于初始投资增长率每个劳动力的产值 Z(t)=Q(t)/L(t)增长3.3.3 经济增长的条件null3.4 传染病模型模型1 (简单模型) 模型2 (SI模型) 模型3（SIS模型） 模型4（SIR模型）null问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型3.4 传染病模型null 已感染人数 (病人) i(t) 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为模型1(简单模型)假设若有效接触的是病人，则不能使病人数增加建模?null模型2(SI模型)区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设 2）每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的健康人致病建模 ~ 日 接触率SI 模型null模型2tm~传染病高潮到来时刻 (日接触率)  tm病人可以治愈！?t=tm, di/dt 最大null模型3（SIS模型）传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS 模型3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率建模 ~ 日接触率1/ ~感染期 ~ 一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。null模型3接触数 =1 ~ 阈值感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例null模型4 (SIR模型)传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型假设2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数  =  / 建模null模型4SIR模型null模型4SIR模型null模型4SIR模型s(t)单调减相轨线的方向P1: s0>1/σ  i(t)先升后降至0P2: s0<1/σ  i(t)单调降至01/σ~阈值null模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段 (日接触率)  卫生水平(日治愈率)  医疗水平传染病不蔓延的条件——s0<1/ 降低 s0提高 r0 提高阈值 1/