电磁场理论基础课后答案

中国科学技术大学  电子科学与技术系  电磁场理论      1 / 45    1、 矢量分析 1-1. （教材 1-1）设܎ ൌ ܔܖ|ܚԦ|，求f。 解： ׏f ൌ 1r ׏r ൌ 1 r rԦ r ൌ rො r 1-2. （教材 1-2）设܎ ൌ ૚ ܚ⁄ ，求f。 解： ׏f ൌ െ1rଶ ׏r ൌ െ1 rଶ rԦ r ൌ െrො rଶ 1-3. （教材 1-3）证明સܚܖ ൌ ܖܚܖି૛ܚԦ。 证明： ׏r୬ ൌ nr୬ିଵ׏r ൌ nr୬ିଵ rԦr ൌ nr ୬ିଶrԦ 1-4. （教材 1-4）证明સ૛ሺ૚ ܚ⁄ ሻ ൌ ૙ ሺܚ ് ૙ሻ。 证明： ׏ଶ 1r ൌ െ׏ · ቆ rԦ rଷቇ ൌ െ ൬ ∂ ∂x x rଷ ൅ ∂ ∂y y rଷ ൅ ∂ ∂z z rଷ൰ ൌ െ ቆ rଶ െ 3xଶ rହ ൅ rଶ െ 3yଶ rହ ൅ rଶ െ 3zଶ rହ ቇ ൌ െ ቆ3r ଶ െ 3rଶ rହ ቇ ൌ 0 1-5. （教材 1-5）证明સ · ሺܚԦ ܚ૜⁄ ሻ ൌ ૙ ሺܚ ് ૙ሻ。 证明： ׏ · ቆ rԦrଷቇ ൌ ׏ 1 rଷ · rԦ ൅ 1 rଷ ׏ · rԦ ൌ െ 3 rସ ׏r · rԦ ൅ 3 rଷ ൌ െ 3 rସ rො · rԦ ൅ 3 rଷ ൌ 0 1-6. （教材 1-6）证明સ ൈ ሺસ܎ሻ ൌ ૙。 证明： ׏ ൈ ሺ׏fሻ ൌ ׏ ൈ ൬∂f∂x xො ൅ ∂f ∂y yො ൅ ∂f ∂z zො൰ ൌ ተ ተ xො yො zො ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z ተ ተ ൌ xො ቆ ∂ ଶf ∂y ∂z െ ∂ଶf ∂y ∂zቇ െ yො ቆ ∂ଶf ∂x ∂z െ ∂ଶf ∂x ∂zቇ ൅ zො ቆ ∂ଶf ∂x ∂y െ ∂ଶf ∂x ∂yቇ ൌ 0 1-7. （教材 1-7）证明સ · ൫સ ൈ ۯሬሬԦ൯ ൌ ૙。 证明： 中国科学技术大学  电子科学与技术系  电磁场理论      2 / 45    ׏ · ൫׏ ൈ AሬሬԦ൯ ൌ ׏ · ቈxො ቆ∂A୸∂y െ ∂A୷ ∂z ቇ െ yො ൬ ∂A୸ ∂x െ ∂A୶ ∂z ൰ ൅ zො ቆ ∂A୷ ∂x െ ∂A୶ ∂y ቇ቉ ൌ ∂ ଶA୸ ∂x ∂y െ ∂ଶA୷ ∂x ∂z െ ∂ଶA୸ ∂x ∂y ൅ ∂ଶA୶ ∂y ∂z ൅ ∂ଶA୷ ∂x ∂z െ ∂ଶA୶ ∂y ∂z ൌ 0 1-8. （教材 1-8）证明સ൫ۯሬሬԦ · ۰ሬሬԦ൯ ൌ ൫۰ሬሬԦ · સ൯ۯሬሬԦ ൅ ൫ۯሬሬԦ · સ൯۰ሬሬԦ ൅ ۰ሬሬԦ ൈ ൫સ ൈ ۯሬሬԦ൯ ൅ ۯሬሬԦ ൈ ൫સ ൈ ۰ሬሬԦ൯。 证明： ׏൫AሬሬԦ · BሬሬԦ൯ ൌ ׏൫AሬሬԦୡ · BሬሬԦ൯ ൅ ׏൫AሬሬԦ · BሬሬԦୡ൯ ൌ AሬሬԦୡ ൈ ൫׏ ൈ BሬሬԦ൯ ൅ ൫AሬሬԦୡ · ׏൯BሬሬԦ ൅ BሬሬԦୡ ൈ ൫׏ ൈ AሬሬԦ൯ ൅ ൫BሬሬԦୡ · ׏൯AሬሬԦ ൌ AሬሬԦ ൈ ൫׏ ൈ BሬሬԦ൯ ൅ ൫AሬሬԦ · ׏൯BሬሬԦ ൅ BሬሬԦ ൈ ൫׏ ൈ AሬሬԦ൯ ൅ ൫BሬሬԦ · ׏൯AሬሬԦ 1-9. （教材 1-13）证明સሺ܎ ܏⁄ ሻ ൌ ሺ܏સ܎ െ ܎સ܏ሻ ܏૛⁄ ሺ܏ ് ૙ሻ 证明： ׏ሺf g⁄ ሻ ൌ ׏ሺfୡ g⁄ ሻ ൅ ׏ሺf gୡ⁄ ሻ ൌ f׏ሺ1 g⁄ ሻ ൅ ሺ1 g⁄ ሻ׏f ൌ െ f gଶ׏g⁄ ൅ ሺ1 g⁄ ሻ׏f ൌ ሺg׏f െ f׏gሻ gଶ⁄ 1-10. （教材 1-14） （1） 证明સ૛܎ሺܚሻ ൌ ܌૛܎܌ܚ૛ ൅ ૛ ܚ ܌܎ ܌ܚ （2） 求܎ሺܚሻ，使સ૛܎ሺܚሻ ൌ ૙ 解 （1） ׏ଶfሺrሻ ൌ ׏ · ׏f ൌ ׏ · ቀୢ୤ୢ୰ ׏rቁ ൌ ׏ · ቀ ୢ୤ ୢ୰ ୰ሬԦ ୰ቁ ൌ ୢమ୤ ୢ୰మ ୰ሬԦ ୰ · ୰ሬԦ ୰ ൅ ୢ୤ ୢ୰ ׏ · ୰ሬԦ ୰ ൌ ୢమ୤ ୢ୰మ ൅ ୢ୤ ୢ୰ ቀ ப ப୶ ୶ ୰ ൅ ப ப୷ ୷ ୰ ൅ ப ப୸ ୸ ୰ቁ ൌ ୢమ୤ ୢ୰మ ൅ ୢ୤ ୢ୰ ቀ ୰ି୶మ ୰⁄ ୰మ ൅ ୰ି୷మ ୰⁄ ୰మ ൅ ୰ି୸మ ୰⁄ ୰మ ቁ ൌ ୢమ୤ ୢ୰మ ൅ ଶ ୰ ୢ୤ ୢ୰ （2） ୢ మ୤ୢ୰మ ൌ െ ଶ ୰ ୢ୤ ୢ୰ df dr ൌ Cᇱ rଶ fሺrሻ ൌ Cଵr ൅ Cଶ 1-11. （教材 1-15）证明સ ൈ ሺ܎ સ܎ሻ ൌ ૙。 证明： ׏ ൈ ሺf ׏fሻ ൌ ׏ ൈ ሾfୡ ׏f ൅ f ሺ׏fሻୡሿ ൌ fୡ ׏ ൈ ׏f ൅ ׏f ൈ ሺ׏fሻୡ ൌ f׏ ൈ ׏f ൅ ׏f ൈ ׏f ൌ 0 1-12. （教材 1-16）证明平面格林定理式ׯ ቀ૒ۼ૒ܠ െ ૒ۻ ૒ܡ ቁ ܌ܠ܌ܡܛ ൌ ׯ ሺۻ܌ܠ ൅ ۼ܌ܡሻर 可以写成 ර ׏ · BሬሬԦds ୱ ൌ ර BሬሬԦ · nොdℓ ℓ 形式，求出۰ሬሬԦ与 M，N 的关系。 解： 有BሬሬԦ · nොdℓ ൌ Mdx ൅ Ndy，且nොdℓ ൌ െdxyො ൅ dyxො 再考虑׏ · BሬሬԦ ൌ பNப୶ െ பM ப୷ 中国科学技术大学  电子科学与技术系  电磁场理论      3 / 45    则可令BሬሬԦ ൌ Nxො െ Myො 1-13. （教材 1-17）证明在一般正交曲线坐标系中 સ૛܎ 的展开式 ׏ଶf ൌ 1hଵhଶhଷ ൤ ∂ ∂uଵ ൬ hଶhଷ hଵ ∂f ∂uଵ൰ ൅ ∂ ∂uଶ ൬ hଵhଷ hଶ ∂f ∂uଶ൰ ൅ ∂ ∂uଷ ൬ hଵhଶ hଷ ∂f ∂uଷ൰൨ 证明： ׏f ൌ 1hଵ ∂f ∂uଵ uොଵ ൅ 1 hଶ ∂f ∂uଶ uොଶ ൅ 1 hଷ ∂f ∂uଷ uොଷ ׏ଶf ൌ ׏ · ሺ׏fሻ ൌ 1hଵhଶhଷ ൤ ∂ ∂uଵ ሺhଶhଷሺ׏fሻଵሻ ൅ ∂ ∂uଶ ሺhଵhଷሺ׏fሻଶሻ ൅ ∂ ∂uଷ ሺhଵhଶሺ׏fሻଷሻ൨ ൌ 1hଵhଶhଷ ൤ ∂ ∂uଵ ൬ hଶhଷ hଵ ∂f ∂uଵ൰ ൅ ∂ ∂uଶ ൬ hଵhଷ hଶ ∂f ∂uଶ൰ ൅ ∂ ∂uଷ ൬ hଵhଶ hଷ ∂f ∂uଷ൰൨ 1-14. （教材 1-18）证明સ · ܚԦ ൌ ૜，સ ൈ ܚԦ ൌ ૙ 证明： ׏ · rԦ ൌ ∂∂x x ൅ ∂ ∂y y ൅ ∂ ∂z z ൌ 3 ׏ ൈ rԦ ൌ ተ xො yො zො ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂zx y z ተ ൌ 0 1-15. 在圆柱坐标系、圆球坐标系中分别计算拉梅系数，并写出梯度、散度、旋度的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式。 解： 圆柱坐标系中， ቊ x ൌ ρ cos φ y ൌ ρ sin φ z ൌ z hଵ ൌ ඥcosଶ φ ൅ sinଶ φ ൌ 1 hଶ ൌ ඥρଶ sinଶ φ ൅ ρଶ cosଶ φ ൌ ρ hଷ ൌ 1 ׏Φ ൌ ρො ∂Φ஡∂ρ ൅ φෝ ρ ∂Φ஦ ∂φ ൅ zො ∂Φ୸ ∂z ׏ · AሬሬԦ ൌ 1ρ ൤ ∂ ∂ρ ൫ρA஡൯ ൅ ∂ ∂φ A஦ ൅ ∂ ∂z ሺρA୸ሻ൨ ൌ 1 ρ ∂ ∂ρ ൫ρA஡൯ ൅ 1 ρ ∂ ∂φ A஦ ൅ ∂ ∂z A୸ ׏ ൈ AሬሬԦ ൌ 1ρ ተተ ρො ρφෝ zො ∂ ∂ρ ∂ ∂φ ∂ ∂z A஡ ρA஦ A୸ ተተ 圆球坐标系中， ൝ x ൌ r sin θ cos φ y ൌ r sin θ sin φ z ൌ r cos θ hଵ ൌ ඥcosଶ φ sinଶ θ ൅ sinଶ φ sinଶ θ ൅ cosଶ θ ൌ 1 中国科学技术大学  电子科学与技术系  电磁场理论      4 / 45    hଶ ൌ ඥrଶcosଶ φ cosଶ θ ൅ rଶsinଶ φ cosଶ θ ൅ rଶ sinଶ θ ൌ r hଷ ൌ ඥrଶ sinଶ φ sinଶ θ ൅ rଶ cosଶ φ sinଶ θ ൌ r sin θ ׏Φ ൌ rො ∂Φ୰∂r ൅ θ෠ r ∂Φ஘ ∂θ ൅ φෝ r sin θ ∂Φ஦ ∂φ ׏ · AሬሬԦ ൌ 1rଶ sin θ ൤ ∂ ∂r ሺr ଶ sin θ A୰ሻ ൅ ∂∂θ ሺr sin θ A஘ሻ ൅ ∂ ∂φ ൫rA஦൯൨ ൌ 1rଶ sin θ ∂ ∂r ሺr ଶ sin θ A୰ሻ ൅ 1r sin θ ∂ ∂θ ሺsin θ A஘ሻ ൅ 1 r sin θ ∂ ∂φ A஦ ׏ ൈ AሬሬԦ ൌ 1rଶ sin θ ተተ rො rθ෠ r sin θ φෝ ∂ ∂r ∂ ∂θ ∂ ∂φ A୰ rA஘ r sin θ A஦ ተተ 中国科学技术大学  电子科学与技术系  电磁场理论      5 / 45    2、 静电场 2-1. （教材 2-1）如图所示，有两无限大的荷电平面，其面电荷密度分别为ૉܛ和െૉܛ，两 平面的间距为 d，求空间三个区域内的电场分布。 解： 取坐标系 x 轴垂直于两电荷平面，坐标原点位于两平面中心。由高斯定律，得 Eሺxሻ ൌ 0, |x| ൐ d 2⁄ Eሺxሻ ൌ ρୱ ε଴⁄ xො, |x| ൏ d 2⁄ 2-2. （教材 2-2）一半径为 a 的圆环，环上均匀分布着线电荷，其线电荷密度为ૉर，求圆 环轴线上任一点处的电场。 解： 取直角坐标系，原点位于圆环中心，z 轴垂直于圆环面。显然轴线上电场方向为垂直于 圆环面，远离圆环。 E ൌ ර ρℓ4πε଴rଶ z r dℓ ൌ න ρℓz 4πε଴ሺzଶ ൅ aଶሻ ଷ ଶ adθ ଶ஠ ଴ ൌ ρℓaz 2ε଴ሺzଶ ൅ aଶሻ ଷ ଶ 2-3. （教材 2-3）半径为 a 的均匀带电半球的体电荷密度为，试计算底面边缘上任一点的 电位与电场。（提示，建立极坐标系） 解： 以待求点为原点建立极坐标系，电位为 ሺρ cos θሻଶ ൅ ሺρ sin θሻଶ ൅ aଶ െ 2aρ sin θ cos φ ൌ aଶ ֜ ρ ൌ 2a sin θ cos φ Φ ൌ න න න ρr ଶ sin θ 4πε଴r dr ଶୟ ୱ୧୬ ஘ ୡ୭ୱ ஦ ଴ dθ ஠ ଶ ଴ dφ ஠ ଶ ି஠ଶ ൌ ρ4πε଴ න න 2a ଶ sinଷ θ cosଶ φ dθ ஠ ଶ ଴ dφ ஠ ଶ ି஠ଶ ൌ ρa ଶ 4ε଴ න sin ଷ θ dθ ஠ ଶ ଴ ൌ ρa ଶ 6ε଴ EሬሬԦ୶ ൌ െ 12 4 3 πaଷρ 4πε଴aଶ xො ൌ െ ρa 6ε଴ xො s d s 中国科学技术大学  电子科学与技术系  电磁场理论      6 / 45    EሬሬԦ୷ ൌ െyො න න න ρr ଶ sin θ 4πε଴rଶ r cos θ r dr ଶୟ ୱ୧୬ ஘ ୡ୭ୱ ஦ ଴ dθ ஠ ଶ ଴ dφ ஠ ଶ ି஠ଶ ൌ െ ρ4πε଴ yො න න 2a sin ଶ θ cos θ cos φ dθ ஠ ଶ ଴ dφ ஠ ଶ ି஠ଶ ൌ െ ρaπε଴ yො න sin ଶ θ cos θ dθ ஠ ଶ ଴ ൌ െ ρa3πε଴ yො 2-4. （教材 2-4）设点电荷ܙ૚与െܙ૛相距为 d。试证明在此带电系统中，有一个半径有限 的球形等位面，并求出它的半径、球心位置以及此等位面的电位值（电位参考点为无 限远处）。 证明： 取球坐标，设 q1 位于(a,0,0)，q2位于(a+d,0,0)处，空间中电位分布为： Φ ൌ 14πε଴ ൬ qଵ Rଵ െ qଶ Rଶ൰＝ 1 4πε଴ ቆ qଵ √rଶ ൅ aଶ െ 2ar cos α െ qଶ ඥrଶ ൅ ሺa ൅ dሻଶ െ 2ሺa ൅ dሻr cos αቇ ൌ 14πε଴ ൭ qଵඥrଶ ൅ ሺa ൅ dሻଶ െ 2ሺa ൅ dሻr cos α െ qଶ√rଶ ൅ aଶ െ 2ar cos α √rଶ ൅ aଶ െ 2ar cos α ඥrଶ ൅ ሺa ൅ dሻଶ െ 2ሺa ൅ dሻr cos α ൱ 当r ൌ ඥaሺa ൅ dሻ时， ඥrଶ ൅ ሺa ൅ dሻଶ െ 2ሺa ൅ dሻr cos α √rଶ ൅ aଶ െ 2ar cos α ൌ ඨ a ൅ d a Φ ൌ 14πε଴ ۉ ۇ qଵ ටa ൅ da െ qଶ ටa ൅ da ටaሺa ൅ dሻ ൅ aଶ െ 2aඥaሺa ൅ dሻ cos αی ۊ 当qଵටୟାୢୟ െ qଶ ൌ 0时，Φ ൌ 0 即： 圆心位置：a ൌ ୯భమ୯మమି୯భమ d 半径：r ൌ ට ୯భమ୯మమି୯భమ d ୯మమ ୯మమି୯భమ d ൌ ୯భ୯మ ୯మమି୯భమ d 电位为零 2-5. （教材 2-6）在边长为 a 的正方形的四角顶点分别放置电量为 q 的点电荷，在正方形 的几何中心处放置电量为 Q 的点电荷。问 Q 为何值时，每个电荷所受的力都是零。 解： 由对称性可知，无论 Q 为多少，Q 的受力都是零。 q 4πε଴aଶ √2 ൅ q 4πε଴2aଶ ൅ Q 4πε଴ 12 aଶ ൌ 0 中国科学技术大学  电子科学与技术系  电磁场理论      7 / 45    Q ൌ െq ቆ√22 ൅ 1 4ቇ 2-6. （教材 2-7）求半径为 a、电量为 Q 的均匀带电球面所产生的电位、电场强度和该系 统的总储能。 解： Eሺr ൏ ܽሻ ൌ 0 Eሺr ൐ ܽሻ ൌ Q4πε଴rଶ Uሺr ൐ ܽሻ ൌ Q4πε଴r Uሺr ൑ aሻ ൌ Q4πε଴a W ൌ 12 QUሺr ൌ aሻ ൌ Qଶ 8πε଴a 2-7. （教材 2-10）一个电量为ܙ૚的点电荷与半径为 a、电量为ܙ૛的均匀带电球体相距为 d （d>a），试求它们的相互作用能。 解： 带电球体的 dv 体积内电荷与 q1 电荷的相互作用能为 dw ൌ qଵρdv4πε଴R ൌ qଵρrଶ sin θ drdθdφ 4πε଴√dଶ ൅ rଶ െ 2dr cos θ （这里取球坐标，坐标原点位于带电球中心，q1 电荷位于 r=d,=0 处） 则 W ൌ න dw ൌ qଵρ4πε଴ න න න qଵρrଶ sin θ 4πε଴√dଶ ൅ rଶ െ 2dr cos θ dφ ଶ஠ ଴ dθ ஠ ଴ dr ୟ ଴ ൌ qଵρ2ε଴ න න rଶ sin θ √dଶ ൅ rଶ െ 2dr cos θ dθ ஠ ଴ dr ୟ ଴ ൌ qଵρ2ε଴ න න rଶ √dଶ ൅ rଶ െ 2drt dt ଵ ିଵ dr ୟ ଴ ൌ qଵρ2ε଴ න r d ቂඥdଶ ൅ rଶ ൅ 2dr െ ඥdଶ ൅ rଶ െ 2drtቃ dr ୟ ଴ ൌ qଵρ2ε଴ d ଶ න 2tଶdr ୟ ୢ ଴ ൌ qଵρ3ε଴ d ଶ ቀadቁ ଷ ൌ qଵ3ε଴ d ଶ ቀadቁ ଷ 3qଶ 4πaଷ ൌ qଵqଶ 4πε଴d 可见，这里可以将带电球体上的电荷分布视为一个点电荷处理。 2-8. （教材 2-11）证明：如果一个点电荷 q 在一个半径为 a 的球面内（球外无电荷），则 q 在球面上所产生的电位平均值 ઴ഥ ൌ ܙ૝ૈઽ૙܉ 证明： 设点电荷 q 距离圆心为 d，则无穷远处的电位为 中国科学技术大学  电子科学与技术系  电磁场理论      8 / 45    q 4πε଴d ൌ q 4πε଴d ൅ 1 4π ර ൬ 1 R ∂Φ ∂n െ Φ ∂ ∂n 1 R൰ ds ᇱ ୱ ൌ q4πε଴d ൅ 1 4π ර ൬ 1 R ׏Φ · nො ൅ Φ 1 Rଶ൰ ds ᇱ ୱ ൌ q4πε଴d ൅ 1 4πa ර ׏Φ · nොds ᇱ ୱ ൅ 14πaଶ ර Φds ᇱ ୱ ൌ q4πε଴d ൅ 1 4πa න ׏ · ׏Φdv୴ ൅ 1 4πaଶ ර Φds ᇱ ୱ ൌ q4πε଴d െ 1 4πa න ׏ · EሬሬԦdv୴ ൅ 1 4πaଶ ර Φds ᇱ ୱ ൌ q4πε଴d െ q 4πε଴a ൅ Φ ഥ 即 Φഥ ൌ q4πε଴a 2-9. （教材 2-12）求下图所示的电荷分布所产生的偶极矩ܘሬሬԦ和四极矩[Q]。 解： PሬሬԦ ൌ 2q2ℓyො ൅ qaxො ൅ ሺെqሻሺെaሻxො ൌ 2qaxො ൅ 4qℓyො Qଵଵ ൌ ሺ3aଶ െ aଶሻq െ ሺ3aଶ െ aଶሻq െ 4ℓଶ2q ൌ െ8qℓଶ Qଶଶ ൌ ሺെaଶሻq െ ሺെaଶሻq ൅ ሺ3 · 4ℓଶ െ 4ℓଶሻ2q ൌ 16qℓଶ Qଷଷ ൌ ሺെaଶሻq െ ሺെaଶሻq െ 4ℓଶ2q ൌ െ8qℓଶ Qଵଶ ൌ Qଶଵ ൌ Qଵଷ ൌ Qଷଵ ൌ Qଶଷ ൌ Qଷଶ ൌ 0 2-10. （教材 2-15）以下列出三种电场分布，求包含在各体积内的总电荷。 （1） 半径为 R 的球，۳ሬԦ ൌ ۯܚ૛ܚො （2） 半径为 a，长度为 L 的圆柱，۳ሬԦ ൌ ۯૉ૛ૉෝ （3） 一顶点位于原点，边长为 a 的立方体，۳ሬԦ ൌ ۯሺܠܠො ൅ ܡܡොሻ 其中 A 是常数 解： （1） Q ൌ ε଴ ර EሬሬԦ · dsԦ ୰ୀR ൌ ε଴ARଶ4πRଶ ൌ 4πε଴ARସ (2) Q ൌ ε଴Aaଶ2πaL ൌ 2πε଴AaଷL (3) Q ൌ ε଴ሺAaaଶ ൅ Aaaଶሻ ൌ 2ε଴Aaଷ 2-11. （教材 2-17）一个半径为 a，中心在原点的球形带电体，已知其电位分布为 -q q 2q oa a 2ℓ x y 中国科学技术大学  电子科学与技术系  电磁场理论      9 / 45    ઴ ൌ ቐ ઴૙ ሺܚ ൑ ܉ሻ ઴૙ ܉ܚ ሺܚ ൐ ܽሻ 求此位场的储能。 解： EሬሬԦ ൌ െ׏Φ ൌ ቐ 0 ሺr ൑ aሻ Φ଴a rଶ rො ሺr ൐ ܽሻ W ൌ ε଴2 න |E| ଶdv ୴ ൌ ε଴2 න ฬ Φ଴a rଶ ฬ ଶ 4πrଶdr ஶ ୟ ൌ 2πε଴Φ଴ଶaଶ න 1rଶ dr ஶ ୟ ൌ 2πε଴Φ଴ଶa 2-12. （教材 2-18）求由三个同心导体球构成的导体系的电位系数ܘܑܒ，其中内球半径为 a， 中球内外半径为 b 和 c，外球内外半径为 d 和 e。 解： P ൌ 14πε଴ ۉ ۈ ۈ ۈ ۈ ۇ 1 a െ 1 b ൅ 1 c െ 1 d ൅ 1 e 1 c െ 1 d ൅ 1 e 1 e 1 c െ 1 d ൅ 1 e 1 c െ 1 d ൅ 1 e 1 e 1 e 1 e 1 eی ۋ ۋ ۋ ۋ ۊ 2-13. （教材 2-19）一个半径为 a 的导体球壳充满密度为ૉሺܚሻ的电荷，已知电场分布为 ۳ܚ ൌ ൜ ۯܚ ૝ ሺܚ ൑ ܉ሻ ۯܚି૛ ሺܚ ൐ ܽሻ 求球内的电荷密度ૉሺܚሻ及球壳内外侧面上的面电荷密度ૉܛ。 解： ρሺrሻ ൌ ε଴׏ · EሬሬԦ ൌ ε଴׏ · ሺArଷrԦሻ ൌ ε଴Aሺ3rଶrො · rԦ ൅ rଷ · 3ሻ ൌ 6ε଴Arଷ 球壳内无电场 4πaଶρୱ 内 ൌ െ න ρሺrሻdr୴ ൌ െ6ε଴A4π න r ହdr ୟ ଴ ൌ െ4πε଴Aa଺ ρୱ 内 ൌ െε଴Aaସ ρୱ 外 ൌ ε଴ 4πaଶ Aa ିଶ4πaଶ ൌ ε଴Aaିଶ 2-14. （教材 2-20）一个球形电容器，内球半径为 a，外球半径为 b，内外球之间电位差为܃૙ （外球接地），求两球间的电位分布及电容量 C。 解： 设内球带电量 Q，外球带电量-Q，则两球间电场为 EሬሬԦ ൌ Q4πrଶε଴ rො 则 中国科学技术大学  电子科学与技术系  电磁场理论      10 / 45    U଴ ൌ න EሬሬԦ · drԦ ୟ ୠ ൌ Q4πε଴ ൬ 1 a െ 1 b൰ ֜ Q ൌ 4πε଴U଴ 1 a െ 1 b EሬሬԦ ൌ U଴ ቀ1a െ 1 bቁ rଶ rො Φ ൌ න U଴ ቀ1a െ 1 bቁ rଶ dr ୰ ୠ ൌ U଴ 1 r െ 1 b 1 a െ 1 b C ൌ QU଴ ൌ 4πε଴ 1 a െ 1 b 2-15. （教材 2-22）给定一电荷分布为 ρ ൌ ቐρ଴cos π a x ሺെa ൑ x ൑ aሻ 0 ሺ|x| ൐ ܽሻ 试求空间各区域的电位分布。 解： 取x ՜ ∞为电位零点 在 x 位置取厚度为 dx 的薄层，由对称性，根据高斯定理易求得它在两侧产生的电场大 小为஡ሺୱሻଶகబ，方向沿 x 轴指向两侧 则|x| ൐ ܽ区域的电场为 E ൌ න ρሺsሻ2ε଴ dx ୟ ିୟ ൌ ρ଴2ε଴ න cos π a x dx ୟ ିୟ ൌ 0 Φ ൌ 0 |x| ൑ ܽ区域的电场为 EሬሬԦ ൌ xො න ρሺsሻ2ε଴ dx ୶ ିୟ െ xො න ρሺsሻ2ε଴ dx ୟ ୶ ൌ xො ρ଴2ε଴ ቆන cos π a x dx ୶ ିୟ െ න cos πa x dx ୟ ୶ ቇ ൌ xො ρ଴2ε଴ a π ቀsin π a x ൅ sin π a xቁ ൌ xො ρ଴a πε଴ sin π a x Φ ൌ න EሬሬԦ · dxሬԦ ୶ ୟ ൌ න ρ଴aπε଴ sin π a x dx ୶ ୟ ൌ ρ଴aπε଴ a π ቀcos π a x ൅ 1ቁ ൌ ρ଴aଶ πଶε଴ ቀcos π a x ൅ 1ቁ 2-16. （教材 2-24）一个金属球半径为 a，位于两种不同媒质的分界面上，导体球电位为઴૙， 求上、下半空间中任意点处的电位。 解： o a ε0 ε Φ0 中国科学技术大学  电子科学与技术系  电磁场理论      11 / 45    设导体球所带自由电荷为 Q，则 ε଴E2πrଶ ൅ εE2πrଶ ൌ Q ֜ E ൌ Q2πrଶሺε଴ ൅ εሻ Φ଴ ൌ න Edr ஶ ୟ ൌ න Q2πrଶሺε଴ ൅ εሻ dr ஶ ୟ ൌ Q2πaሺε଴ ൅ εሻ ֜ Q ൌ 2πaሺε଴ ൅ εሻΦ଴ E ൌ aΦ଴rଶ Φሺrሻ ൌ න Edr ஶ ୰ ൌ න aΦ଴rଶ dr ஶ ୰ ൌ aΦ଴r 2-17. （教材2-26）一个球形电容器，内外半径分别为a与b，内充非均匀介质ઽሺܚሻ ൌ ઽ૙ ܉૛ ܚ૛⁄ ， 试求其电容量 C。 解： 设内球电量为 Q，则 εE · 4πrଶ ൌ Q ֜ E ൌ Q4πrଶε ൌ Q 4πaଶε଴ 取外球电位为零，则内球电位为 U ൌ න Edr ୠ ୟ ൌ න Q4πaଶε଴ dr ୠ ୟ ൌ Qሺb െ aሻ4πaଶε଴ 则电容为 C ൌ QU ൌ 4πaଶε଴ b െ a 2-18. （教材 2-27）一个平板电容器的长、宽为 a 与 b，极板间距离为 d，其中一半（0～a/2） 用介电常数为 ε 的介质充填，另一半为空气。极板间加电压܃૙，求极板上自由电荷 密度与介质表面上极化电荷密度。 解： 设介质为 I 区，空气为 II 区 电场EI ൌ EII ൌ Uబୢ DI ൌ ε U଴d ，DII ൌ ε଴ U଴ d ρ୤Iା ൌ DI ൌ ε U଴d ，ρ୤IIା ൌ DII ൌ ε଴ U଴ d ρୠIା ൌ ε଴EI െ ρ୤I ൌ ሺε െ ε଴ሻ U଴d ρ୤Iି ൌ െε U଴d ，ρ୤IIି ൌ െε଴ U଴ d ，ρୠIି ൌ ሺε଴ െ εሻ U଴ d 2-19. （教材 2-28）两个同轴圆筒之间，૙ ൏ ߠ ൏ ી૚部分充填了介电常数为ε的介质，其余 部分为空气，求它单位长度的电容量。 中国科学技术大学  电子科学与技术系  电磁场理论      12 / 45    解： E ൌ Qε଴ሺ2π െ θଵሻ ൅ εθଵ 1 r U ൌ න Edr ୠ ୟ ൌ Qε଴ሺ2π െ θଵሻ ൅ εθଵ ln b a C ൌ QU ൌ ε଴ሺ2π െ θଵሻ ൅ εθଵ ln ba 2-20. （教材 2-30）一对平行金属板，间距为 d，极板间加电压܃૙，插入一液体中（液体的 密度为 g，介电常数为ε），求极板间液面上升的高度 h。 解： Wୣ ൌ 12 UQ ൌ 1 2 UεEay ൌ 1 2d U ଶεay 其中 a 是平行金属板垂直于纸面方向的宽度，y 是平行金属板平行于纸面方向的高度 W ൌ 12d U ଶε଴aሺℓ െ yሻ ൅ 12d U ଶεaℓy ൌ 12d U ଶε଴aℓ ൅ 12d U ଶሺε െ ε଴ሻay f ൌ ∂W∂y ൌ 1 2d U ଶሺε െ ε଴ሻa 1 2d U ଶሺε െ ε଴ሻa ൌ gahd h ൌ 12g ൬ U d൰ ଶ ሺε െ ε଴ሻ 2-21. （教材 2-31）一个半径为 a 的介质球沿径向被永久极化，极化强度۾ሬሬԦ ൌ હܚܖܚො，其中α， d h a b o 1  中国科学技术大学  电子科学与技术系  电磁场理论      13 / 45    n 是大于零的常数，求：（1）极化体电荷和面电荷密度；（2）球内外任一点的电场； （3）球内外任一点的电位。 解： （1） ρୠ ൌ െ׏ · PሬሬԦ ൌ െα׏ · ሺr୬ିଵrԦሻ ൌ െαሾሺn െ 1ሻr୬ିଶrො · rԦ ൅ r୬ିଵ3ሿ ൌ െαሺn ൅ 2ሻr୬ିଵ ρୱୠ ൌ PሬሬԦ · rොห୰ୀୟ ൌ αr୬ （2） r 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的求解 3-1. （教材 3-1）如图，一导体球半径为܀૚，其中有一球形空腔，球心为 o'，半径为܀૛， 腔内有一点电荷置于距 o'为 d 处，设导体球所带净电荷为零，求空间各个区域内的电 位表示式。 解：  取无穷远为电位零点 设球外为 I 区，球壳为 II 区，空腔为 III 区 q 对内壁的镜像电位为qᇱ ൌ െ Rమୢ q，与 o' 距离为 Rమమ ୢ 外壁均匀带电，电量为 q，则 I 区电位为 ΦI ൌ q4πε଴r II 区电位为 ΦII ൌ q4πε଴Rଵ III 区电位为 ΦIII ൌ q4πε଴R＋ െ Rଶd q 4πε଴Rᇱ ＋ q 4πε଴Rଵ ൌ q 4πε଴R െ Rଶq 4πε଴dRᇱ ＋ q 4πε଴Rଵ 其中 R 是 q 到场点的距离，R' 是 q' 到场点的距离。 3-2. （教材 3-2）在一接地的半球形空腔内有一点电荷 q，球的半径为 a，如图，求此腔内 任一点处的电位。 解： 有三个镜像电荷，如图 a q r0  0 o R1 o' q dR2 中国科学技术大学  电子科学与技术系  电磁场理论      16 / 45    其中， qଵ ൌ െ ୟ୰బ q，qଶ ൌ െq，qଷ ൌ ୟ ୰బ q，到球心距离分别为 ୟమ ୰బ ，r଴， ୟమ ୰బ 则腔内任一点电位为 Φ ൌ q4πε଴R െ aq 4πε଴r଴Rଵ െ q 4πε଴Rଶ ൅ aq 4πε଴r଴Rଷ 其中 R、R1、R2、R3 分别是 q、q1、q2、q3 到场点的距离 3-3. （教材 3-4）一点电荷 q（q>0）置于一接地导体平面之上，在上半空间中存在一均匀 电场۳ሬԦ ൌ ۳૙ܠො，问点电荷在 x 为何值时所受的电场力为零。 解： q 4πε଴ሺ2xሻଶ ൌ E଴ x ൌ ඥq4ඥπε଴E଴ 3-4. （教材 3-5）一半径为 a 的导体球内有一点电荷 q，到球心距离为 b。导体球原来未带 电，求此电荷所受的静电力，并问此力大小与导体球接地与否是否有关。 解： 该电荷的镜像电荷大小െ ୟୠ q，到球心距离为 ୟమ ୠ 则该电荷受力大小为 F ൌ q a b q 4πε଴ ൬a ଶ b െ b൰ ଶ ൌ abqଶ 4πε଴ሺaଶ െ bଶሻଶ 方向指向最接近的导体球壳 此力大小仅与导体球内壳有关，与导体球接地与否无关。 3-5. （教材 3-6）一未接地导体球带电荷ܙ૙，现将一点电荷 q 引至导体球附近，求当作用 0 ˆE E x  x q a q r0  0 q1  q2 q3 中国科学技术大学  电子科学与技术系  电磁场理论      17 / 45    于 q 上的力为零时，点电荷 q 与球心的距离 R。 解： 设导体球半径为 a，则要求电荷 q 处电场为零 q଴ ൅ aR q 4πε଴Rଶ ൅ െ aR q 4πε଴ ൬R െ a ଶ R ൰ ଶ ൌ 0 q଴ q ൌ ሺ2Rଶ െ aଶሻ ሺRଶ െ aଶሻଶ aଷ R 当 R 满足上述方程时，点电荷受力为零。 3-6. （教材 3-7）有如图一电荷系统，试求点电荷ܙ૚，ܙ૛所受的电场力。 解： 导体球外电场由qଵ，qଶ及它们的镜像电荷形成。 qଵ受力为： Fଵ ൌ qଵ4πε଴ ۏێ ێێ ۍ െ adଵ qଵ ൬dଵ െ a ଶ dଵଶ൰ ଶ ൅ െ adଶ qଶ ൬dଵ ൅ a ଶ dଶଶ൰ ଶ ൅ qଶ ሺdଵ ൅ dଶሻଶ ےۑ ۑۑ ې Fଶ ൌ qଶ4πε଴ ۏێ ێێ ۍ െ adଵ qଵ ൬dଶ ൅ a ଶ dଵଶ൰ ଶ ൅ െ adଶ qଶ ൬dଶ െ a ଶ dଶଶ൰ ଶ ൅ qଵ ሺdଵ ൅ dଶሻଶ ےۑ ۑۑ ې 正方向指向原点。 3-7. （教材 3-8）一线电荷ૉर放置在成直角的导体平面所夹区域内 ܠ ൌ ܡ ൌ ૚ 处，如图， 试用保角变换法求电位解，并将此解与镜象法的结果相比较。 解： 取保角变换 W=z2，直角区域映射为上半平面，线电荷映射到(0,2)处 上半空间电位为 ℓ(1,1)  y  x 1q 2q1d 2do a 中国科学技术大学  电子科学与技术系  电磁场理论      18 / 45    Φ ൌ ρℓ2πε଴ ln ඥuଶ ൅ ሺv െ 2ሻଶ ඥuଶ ൅ ሺv ൅ 2ሻଶ 用镜像法，可解得 Φ ൌ ρℓ2πε଴ ln ඥሺx െ 1ሻଶ ൅ ሺy െ 1ሻଶඥሺx ൅ 1ሻଶ ൅ ሺy ൅ 1ሻଶ ඥሺx െ 1ሻଶ ൅ ሺy ൅ 1ሻଶඥሺx ൅ 1ሻଶ ൅ ሺy െ 1ሻଶ 将下述坐标关系代入上式，可证明两式恒等 u ൅ jv ൌ ሺx ൅ jyሻଶ ֜ ൜u ൌ xଶ െ yଶv ൌ 2xy 3-8. （教材 3-9）在半无限大导体平面附近ሺܠ૙, ܡ૙ሻ点有一线电荷ૉर，如图，求它的电位解。 解： 取保角变换W ൌ √z，半无限大空间映射为上半空间，线电荷映射到(u0,v0)，其中 u଴ ൅ jv଴ ൌ ඥx଴ ൅ jy଴ 则上半空间电位为 Φ ൌ ρℓ2πε଴ ln ඥሺu െ u଴ሻଶ ൅ ሺv െ v଴ሻଶ ඥሺu െ u଴ሻଶ ൅ ሺv ൅ v଴ሻଶ 将坐标的变换代入上式，即得原空间中的电位解。 3-9. （教材 3-12）两平行的无限大导体，距离为 b，其间有一极薄的导体导体片由 y=d 到 y=b(-∞≤x≤∞)，上板和薄片保持电位为܃૙，下板保持零电位，如图。设 z=0 的平 面上 y 从 0 变到 d 时，电位从 0 线性地变到܃૙，求极板间的电位。 解： Φ ൌ U଴b y ൅ ෍ A୬ sin nπ b y exp ቀെ nπ b |z|ቁ ஶ ୬ୀଵ x z y d b Φ=U0 o ℓ(x0,y0)  y  x→∞ 中国科学技术大学  电子科学与技术系  电磁场理论      19 / 45    当 z=0 时， ෍ A୬ sin nπb y ஶ ୬ୀଵ ൌ Φሺz ൌ 0ሻ െ U଴b y ൌ ൞ U଴ െ U଴b y ሺd ൑ y ൑ bሻU଴ d y െ U଴ b y ሺ0 ൑ y ൑ dሻ 两侧乘sin ୫஠ୠ y，并在 0~b 上对 y 积分，得 b 2 A୫ ൌ ൬ b mπ൰ ଶ U଴ d sin ቀ mπ b dቁ A୬ ൌ 2bU଴ሺnπሻଶd sin ቀ nπ b dቁ 3-10. （教材 3-13）一导体制成的矩形槽，在端面的中心（x=a/2）有一小缝，如图。上板 的电位为܃૙，下板电位为零，求 00 的区间内电位解。 解： Φ ൌ U଴a x ൅ ෍ A୬ sin nπ a x exp ቀെ nπ b zቁ ஶ ୬ୀଵ 当 z=0 时， ෍ A୬ sin nπa x ஶ ୬ୀଵ ൌ Φሺz ൌ 0ሻ െ U଴a x ൌ ൞ U଴ െ U଴a x ቀ a 2 ൑ y ൑ aቁ 0 െ U଴a x ቀ0 ൑ y ൑ a 2ቁ 两侧乘sin ୫஠ୟ x，并在 0~a 上对 x 积分，得 a 2 A୫ ൌ aU଴ mπ cos mπ 2 A୬ ൌ 2U଴nπ cos nπ 2 ൌ ൝ 2U଴ nπ ሺെ1ሻ ୬ ଶ ሺn ൌ 2,4,6, ڮ ሻ 0 ሺn ൌ 1,3,5, ڮ ሻ 3-11. （教材 3-14）在无限大介质（介电常数为ε）中有一半径为 a 的球形空腔，外加一均 匀电场۳૙ܢො，求空腔内外的电位。 解： 设空腔为 1 区，空腔外为 2 区。设坐标原点在球心，取 z=0 平面为零电势面。 o  z x  a/2  a  中国科学技术大学  电子科学与技术系  电磁场理论      20 / 45    Φଵ ൌ ෍ A୬ ቀraቁ ୬ P୬ሺcos θሻ ஶ ୬ୀଵ Φଶ ൌ െE଴r cos θ ൅ ෍ B୬ ቀarቁ ୬ାଵ P୬ሺcos θሻ ஶ ୬ୀଵ 显然，n=1 Φଵ ൌ A ra cos θ Φଶ ൌ െE଴r cos θ ൅ B ቀarቁ ଶ cos θ 考虑 r=a 面上边界条件 ൝ Φଵ ൌ Φଶ ε଴ ∂Φଵ∂r ൌ ε ∂Φଶ ∂r ൝ A ൌ E଴a ൅ B ε଴ Aa ൌ െεE଴ ൅ εB െ2 a ە ۔ ۓA ൌ െ 3εε଴ ൅ 2ε E଴a B ൌ െ ε െ ε଴ε଴ ൅ 2ε E଴a Φଵ ൌ െ 3εε଴ ൅ 2ε E଴r cos θ Φଶ ൌ െE଴r cos θ ൅ ε଴ െ εε଴ ൅ 2ε E଴ aଷ rଶ cos θ 3-12. （教材 3-15）在均匀外电场۳ሬԦ ൌ ۳૙ܠො中，垂直于电场方向有一半径为 a 的导体圆柱（无 限长），求圆柱外的电位解和圆柱表面的感应电荷分布。 解： 取圆柱中心轴线为坐标 z 轴，x=0 平面为零电势面。 Φ ൌ െE଴ρ cos φ ൅ ෍ A୬ cos nφ ቀρaቁ ି୬ஶ ୬ୀଵ 导体圆柱表面也是零电势 0 ൌ െE଴a cos φ ൅ ෍ A୬ cos nφ ஶ ୬ୀଵ 所以只有 n=1 的项，且Aଵ ൌ E଴a Φ ൌ െE଴ρ cos φ ൅ E଴a cos φ ቀρaቁ ିଵ 或者，导体圆柱表面电场为 ρ方向 E஦ ൌ ሺെ׏Φሻ஦ ൌ െ 1ρ ∂Φ ∂φ ൌ െE଴ρ sin φ ൅ ෍ A୬n sin nφ ቀ ρ aቁ ି୬ஶ ୬ୀଵ 中国科学技术大学  电子科学与技术系  电磁场理论      21 / 45    E஦ห஡ୀୟ ൌ െE଴a sin φ ൅ ෍ A୬n sin nφ ஶ ୬ୀଵ ൌ 0 也有上述结果。 ρୱ ൌ ε଴E஡ ൌ ε଴ሺെ׏Φሻ஡ ൌ െε଴ ∂Φ∂ρ ൌ െε଴ ൤െE଴ cos φ െ E଴a cos φ 1 a൨ ൌ 2ε଴E଴ cos φ 3-13. （教材 3-16）试计算一被均匀极化（۾ሬሬԦ ൌ ۾૙ܢො）的半径为 a 的介质球在球内外所产生 的电位分布。 解： 球内无极化电荷，球表面上有极化面电荷分布 设球内为 1 区，球外为 2 区。设坐标原点在球心，取无穷远为零电势面。 Φଵ ൌ ෍ A୬ ቀraቁ ୬ P୬ሺcos θሻ ஶ ୬ୀଵ Φଶ ൌ ෍ B୬ ቀarቁ ୬ାଵ P୬ሺcos θሻ ஶ ୬ୀଵ 在球表面r ൌ a处，有边界条件 ൝ Φଵ ൌ Φଶ ε଴ ∂Φଵ∂r െ ε଴ ∂Φଶ ∂r ൌ ρୱୠ ൌ PሬሬԦ · rො ൌ P଴ cos θ 显然，只有n ൌ 1的解。得， ൝ Aଵ ൌ Bଵ ε଴Aଵ 1a cos θ െ ε଴Bଵ െ2 a cos θ ൌ P଴ cos θ 所以 Aଵ ൌ Bଵ ൌ aP଴ cos θ3ε଴ 3-14. （教材 3-17）一圆柱形电容器，其半径为 a，上半部分加电压 U0，下半部分加电压-U0， 如图，求此电容器内的电位分布（极板间的间隙影响忽略）。 解： U0  ‐U0  中国科学技术大学  电子科学与技术系  电磁场理论      22 / 45    Φ ൌ ෍ A୬ ቀρaቁ ୬ sin nφ ஶ ୬ୀଵ 当=a 时， ෍ A୬ sin nφ ஶ ୬ୀଵ ൌ ൜ U଴ ሺ0 ൑ φ ൑ πሻെU଴ ሺπ ൑ φ ൑ 2πሻ 两侧乘sin mφ，并在 0~2上对 φ积分，得 πA୫ ൌ 2U଴m ሺ1 െ cos mπሻ A୬ ൌ 2U଴nπ ሺ1 െ cos nπሻ ൌ ൝ 4U଴ nπ ሺn ൌ 1,3,5, ڮ ሻ 0 ሺn ൌ 2,4,6, ڮ ሻ 3-15. （教材 3-18）一圆筒形电极半径为 b，如图，加电压 U0，内有一平面电极 U=0，求 圆筒内部电位解。 解： Φ ൌ ෍ A୬ ቀρbቁ ୬ sin nφ ஶ ୬ୀଵ 当=b 时， ෍ A୬ sin nφ ஶ ୬ୀଵ ൌ U଴ 两侧乘sin mφ，对上半空间，在 0~上对 φ积分，得 π 2 A୫ ൌ U଴ 1 m ሺ1 െ cos mπሻ A୬ ൌ 2U଴nπ ሺ1 െ cos nπሻ ൌ ൝ 4U଴ nπ ሺn ൌ 1,3,5, ڮ ሻ 0 ሺn ൌ 2,4,6, ڮ ሻ 对下半空间，在~2上对 φ积分，得 A୬ ൌ 2U଴nπ ሺcos nπ െ 1ሻ ൌ ൝ െ 4U଴nπ ሺn ൌ 1,3,5, ڮ ሻ 0 ሺn ൌ 2,4,6, ڮ ሻ 3-16. （教材 3-19）一矩形域，其边界条件如下图所示，求此域内的电位解。 U=0 U0 o b 中国科学技术大学  电子科学与技术系  电磁场理论      23 / 45    解： Φ ൌ ෍ A୬ sin nπxa sh nπy a ஶ ୬ୀଵ 当 y=b 时 ෍ A୬ sin nπxa sh nπb a ஶ ୬ୀଵ ൌ A sin 3πxa cos πx a ൌ A 2 ൬sin 4πx a ൅ sin 2πx a ൰ Aଶ ൌ A2sh 2πba Aସ ൌ A2sh 4πba Φ ൌ A 2sh 2πba sin 2πxa sh 2πy a ൅ A 2sh 4πba sin 4πxa sh 4πy a 3-17. （教材 3-20）有一偶极矩为ܘሬሬԦ的电偶极子位于导体球形空腔的中心，如果空腔的半径 为 a，试求空腔内的电位分布及腔内表面上的感应电荷分布。 解： 设偶极矩为pሬԦ ൌ qℓzො，取 xy 平面为零电势面 偶极矩产生的电位为 Φଵ ൌ pሬԦ · rො4πε଴rଶ ൌ pzො · rො 4πε଴rଶ ൌ p cos θ 4πε଴rଶ 该电位对应的电场为 EሬሬԦଵ ൌ െ׏Φଵ ൌ െ p4πε଴ ׏ cos θ rଶ ൌ െ p 4πε଴ ቆrො ∂ ∂r ൅ θ෠ r ∂ ∂θቇ cos θ rଶ ൌ െ p4πε଴ ቆrො െ2 cos θ rଷ ൅ θ෠ r െ sin θ rଶ ቇ ൌ p 4πε଴rଷ ൫2 cos θ rො ൅ sin θ θ ෠൯ 偶极矩关于内球面的镜像为： Q ൌ െ aℓ 2 q，D ൌ a ଶ ℓ 2 ，ℓ ՜ 0 其在球心处产生的电场为 a b y xo 0  0  3 x xAsin cos a a    0  中国科学技术大学  电子科学与技术系  电磁场理论      24 / 45    EሬሬԦଶ ൌ െ2 Q4πε଴Dଶ zො ൌ 2 a ℓ 2 q 4πε଴ ቌa ଶ ℓ 2 ቍ ଶ zො ൌ p 4πε଴aଷ zො ൌ p 4πε଴aଷ ൫rො cos θ െ θ ෠ sin θ൯ 对应电位为  Φଶ ൌ െEሬሬԦଶ · zԦ ൌ െ pz4πε଴aଷ ൌ െ pr cos θ 4πε଴aଷ   则球腔内总电位为  Φ ൌ Φଵ ൅ Φଶ ൌ p cos θ4πε଴ ൬ 1 rଶ െ r aଷ൰  腔内表面上总电场为  EሬሬԦ ൌ EሬሬԦଵ ൅ EሬሬԦଶ ൌ 3p cos θ4πε଴aଷ rො  感应电位分布为 ρୱ ൌ െε଴E ൌ െ 3p cos θ4πaଷ 3-18. （教材 3-22）有一半径为 a 的中空圆柱体，其轴与 z 轴相合，其两底面各在 z=0 和 z=L 的平面上。上下底面分别加电位઴૚，઴૛，柱面的电位为零，求柱面的电位分布。 解： Φ ൌ ෍ሾA୧ sh k୸୧z ൅ B୧shk୸୧ሺL െ zሻሿ J଴ሺk୸୧ρሻ ஶ ୧ୀଵ 其中 kzi 是J଴ሺk୸୧ρሻ ൌ 0的第 i 个根 在 z=0 平面上， Φଶ ൌ ෍ B୧shk୸୧L J଴ሺk୸୧ρሻ ஶ ୧ୀଵ 两侧乘 ρJ0(kzjρ)，并在 0~a 上对 ρ积分，得 B୧shሺk୸୧Lሻ a ଶ 2 Jଵ ଶሺk୸୧aሻ ൌ න ΦଶρJ଴ሺk୸୨ρሻdρ ୟ ଴ ൌ Φଶ ak୸୧ Jଵሺk୸୧aሻ B୧ ൌ 2Φଶk୸୧aሺshk୸୧Lሻ Jଵሺk୸୧aሻ 在 z=L 平面上， Φଵ ൌ ෍ A୧shk୸୧L J଴ሺk୸୧ρሻ ஶ ୧ୀଵ 两侧乘 ρJ0(kzjρ)，并在 0~a 上对 ρ积分，得 A୧shሺk୸୧Lሻ a ଶ 2 Jଵ ଶሺk୸୧aሻ ൌ න ΦଵρJ଴ሺk୸୨ρሻdρ ୟ ଴ ൌ Φଵ ak୸୧ Jଵሺk୸୧aሻ 中国科学技术大学  电子科学与技术系  电磁场理论      25 / 45    A୧ ൌ 2Φଵk୸୧aሺshk୸୧Lሻ Jଵሺk୸୧aሻ 所以， Φ ൌ ෍ 2k୸୧aሺshk୸୧Lሻ Jଵሺk୸୧aሻ ሾΦଵ sh k୸୧z ൅ Φଶshk୸୧ሺL െ zሻሿ J଴ሺk୸୧ρሻ ஶ ୧ୀଵ 3-19. （教材 3-23）一圆柱形导体空腔其半径为 a，高度为 L，试求此域内第一类边值问题 的格林函数。 解： 设圆柱轴线为 z 轴，底面在 z=0 上，顶面在 z=L 上。 ׏ଶG ൌ െδሺrԦ െ rԦ଴ሻ 以 z=z0 面将导体腔分为上下两个区域，设 z>z0区域为 1 区，z