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高三数学复习:和、差、倍角的三角函数

高三数学复习:和、差、倍角的三角函数

教育博客
2006-11-13 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《高三数学复习:和、差、倍角的三角函数pdf》,可适用于求职/职场领域

书书书重点!"和、差、倍角的三角函数两角和与差的三角函数公式及二倍角公式是高考的重点内容它不仅是解决三角恒等变形问题的基础也是研究三角函数图像与性质的基础其主要题型有:(#)三角函数式的化简与求值(!)三角函数式的简单证明!另外在研究三角函数图像与性质时也常利用它对三角函数进行化简进而研究三角函数的图像与性质!这部分知识的考查难度已较以前有所降低复习时也应适当控制其难度!#!记忆公式要注意角、三角函数名称的排列以及“$”“”的变化特点对一些公式不仅要求会从正面应用还要会逆用以及变形用!!!重视角的变换及角的范围在求三角函数值时所起的重要作用学会灵活地运用公式!!创造条件使用倍角公式是活用公式的关键!题型一"基本公式及应用【调研#】"已知"#是!"#$的两个内角!(#)若"、#"(!’!!)求证()*"()*##(!)若"、#满足!,",(!#")求()*(#")()*#的值!解析"(#)()*"()*##*"*#,",#,",#,("$#),",#!’"!!!’#!!!!"$#!,("$#),",#即()*"()*##故()*"()*##!(!)!,[(#")#],[(#")$#]!,(#"),#!$*(#")*#,(#"),#*(#")*#即(!#),(#"),#(!$#)*(#")*#()*(#")()*#!#!#$!!!!中国最早提出了最小公倍数的概念!!!【方法探究】!在本题(")中我们使用了两角和的正切公式#$("#)’#$"#$#"(#$"#$#的变形公式"(#$"#$#’#$"#$##$("#)!对于一个三角公式我们不但要掌握这个公式的正用、逆用还要掌握变形使用!例如:)*!’)*!,)!这个公式成立的条件是!是任意角!是!的二倍!于是下面公式都成立:)*"’)*",)")*"’)*",)"⋯)*!’)*!,)!)*!’)*!,)!⋯倍角公式的精髓体现在角的倍数关系上!拓展"!求,)"$)*"$(,)"$的值!【调研】!设!"(!)""(!!)且!、"满足!)*!,)!’!)*"!,)"’求,)(!")的值!分析!若注意到两个等式都具有)*’,)的结构可考虑逆用和角公式引入辅助角求解!解析!!)*!,)!’)*(!!)’!!"(!)(!!)"(!!),)(!!)’!又!)*"!,)"’)*("!)’!""(!!)("!)"(!!),)("!)’(!)*[(!!)("!)]’)*(!!),)("!),)(!!))*("!)’(!",)(!")’(!"!!!【技巧点拨】!此类型题目需通过模式联想引入辅助角技巧性较强其中辅助角公式)*’,)’’!)*(#)(其中#$#’’)在历年高考中使用频率相当高应加以关注!拓展!在!"#(中已知"、#、(成等差数列求#$"#$(!#$"·#$(的值!!!!中国最早提出联立一次方程组的解法!【调研"】!化简#$’"(#$#")*##,(!’(")·#(!’)")!分析!化简结果究竟是什么我们不清楚但化繁为简却是我们不变的目标!本题中分子是一个完全平方式分母中(!’("))(!’)")!#这两个特征应成为我们解题的切入点!解析!原式*#(’$’"(’$#")*)#·(!’(")$(!’(")·$#(!’(")(#$#"(*)#’(!’(")$(!’(")$##"#(!#(#")$##"#$#"*#$#"!!!【方法探究】!本题的变形既有变式又有变角!变式的常用方法有“常值代换”“逆用和变用公式”“配方与平方”等!本题的变式抓住了’$’"(’$#")*是一个完全平方式变角抓住了!’("与!’)"互余以及!’("的倍角是!#(#"这些特征!拓展"!已知角#、$、是!#$的内角!##$向量!(#$#*)"(*##)且!·"!求$#(!’($#))##$##的值!题型二!三角函数式的求值【调研’】!已知关于"的方程!"$")")在区间(#!)上有两个不相等的实数解!"求!)"的值!解析!构造关于!"的方程借助角的变形解决!!"是方程!"$")")在区间(#!)上的两个不相等的实数根!"$!)!)(*)!"$")")(#)(*)((#)得!"($!($")"(!!"[$(!)"#)!("#)($(!)"#(!("#)](!)"#(!("#)((!)"#)!("#)两边展开整理得!(#"!)"#!("#(#$!)"#!("#,!)"#!""!!!大约在公元"世纪刘徽在他的《九章算术注》中讲解计算圆周率的“割圆术”和开方不尽根问题!又!#"$"($!)!#"$’!(或)!(故!#"’!"或)!"!!!【发散类比】!如果三角函数条件式本身就是方程的形式那么在进行三角变换时要重视方程思想与方法并会灵活运用!值得一提的是凡是求某角基本上是先求出其三角函数值再求角!另外我们使用角的变换!’!#"$#!*"$"’!#"$*!*"$避免了和差化积!《考试大纲》要求掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式这就要求我们能灵活地运用这些公式来解题因此我们不仅要能直接运用公式更要注意创造运用公式的条件!拓展!!"#$中内角"、#、$的对边分别是、、’!已知、、’成等比数列且,#’"求,"#,$的值!题型三!三角函数综合应用【调研】!若!!!$求使(())’()#!)#,()*!)()"!)为偶函数的实数!的个数!分析!因为(())为偶函数所以对于任意的实数)都有((*))’(())依此建立关于!的方程获解!解析!(())’()#!)#,()*!)’),!#,)!#,),!#)!’()#,)),!#()#,))!’()#,))(!#,!)(())为偶函数((*))’(())即对于任意实数)都有()#,))(!#,!)’((*))#,(*)))(!#,!)#$)(!#,!)’!#,!’#(!#!)’!’*!*!(*"")!又!!!$#*$!!!$!!!"于是!*!*!!"#!$#*!$#$*$故这样的实数!有个!!!【技巧点拨】!本题将三角函数求值、化简、绝对值不等式的解法融于一体很好地考查了学生潜在学习的能力!求值、化简、证明是三角函数中最常见的题型其一般的解题思路为“五遇六想”即:遇切割想化弦遇多元想消元遇差异想联系遇高次想降次遇特角想求值想消元引辅角!“五遇六想”作为解题经验的总结和概括操作简便十分有效!其中蕴含了一个变换思想(找差异抓联系促进转化)两种数学思想(转化思想和方程思想)三个追求目标(化为特殊角的三角函数值使之出现相消项或相约项)四种变换方法(切割化弦法、消元降次法、辅助元素法及特殊值法)!!!!在《九章算术》这部名著中中国最早研究了不定方程的问题!拓展"!已知三角函数"(#)#$(#’!)()$#的图像关于原点$(**)对称试求函数"(#)的解析式!【调研】!已知向量!#($"()$,")"#(()$"$,")("!""")求动点(!·""$"$")的轨迹!分析!欲求动点的轨迹根据题设选取角变量"为参数建立的参数方程即可!特别注意变量#’的取值范围!解析!设动点(#’)则##!·"#$"()$"’$,"()$,"#($"’$")#[$("")’$("’")]#$"()$"#$"()$"于是##$"($")#$"($")($")$($"’$"’$",),#当且仅当$"#$"时等号成立!,$#$!,’#"$"$"#()$"’$,"$"$"#’()$"’()$"$"$"#’()$"()$"$"$"#所以的轨迹是一条线段:’#(!,$#$!,)!!!【考向预测】!由于近年高考命题突出以能力立意加强对知识综合性和应用性的考查故常常在知识的交汇点处命题因而对三角函数知识的考查总是与平面向量、数列、不等式、解析几何、导数等综合在一起来考查突出三角函数的工具性作用!本题就具有这一典型特征是不可多得的好题!拓展!已知"(#)#[$(#’")!’,()$(#’")]·()$(#’")若""[*!]且"(#)为偶函数求"的值!!函数"(#)!#,()$(,#")$(,#")是奇函数则"等于!(!!!!!(!’!!!!!(!’!,!!!!(!!,!已知()$"#"!"!!求:!():"!!!中国南宋的伟大数学家秦九韶在《数书九章》中最早提出了高次方程的数值解法!(")"#$"!"’(!!"’((!)!*)!!已知,’("")’("#$""#$""""[!"!]求’(("")!)的值!*!已知函数:"(#)"’((#)!")#$(#)!")!)"#$"(#)!")!#"!!为常数!()求函数"(#)的最大值和最小值(")当!!时求函数"(#)满足"(#)的#的集合!!在!$中’()分别为角$的对边且满足*#$"$"#$"())"!()求角$大小(")若())当’取最小值时判断!$的形状!【拓展】!#$*’(**#$*#$**’(*#$*’(*!’(*"’("*’(*’((,*)"*)"’("*’(*!"#$"*"’("*’(*!("#$"*!"’("*)’(*!#$(,*)"*)’(*!!"!$成等差数列,*$)"*$)",*由(($")")($")("($"("得!(($"(")($")("($")("!)($"("!!!向量!("#$$)"("’($)且!·"’($)#$$!"!!!公元""世纪中叶的中国数学家贾宪最早创立了“增乘开方法”和“开方作法本源”!又#$’"()*$’""!!由"!得$’",$"("’’解得$"或$"又##’"$则"#$"!’’故$"#"($#’)*$’(#,$’)($"’)*$"’)*$’"’($"’)*$"’"()*$"’($"’!!解法一!由)*$$得$$!由’’得$’$$"·$#于是)*"()*#)*$"$"()*$#$#$#)*$"()*$#$"$"$#$("(#)$’$$$$’$"$$!!解法二!由)*$$得$$!由正弦定理得$"’$#!即$"!$#!’!由余弦定理得)*$"’(’’,’’’)*$#’(’,’’’)*"()*#)*$"$"()*$#$#’(’(’’,’)!’(’(’(’,’’)!’’!’由、、’成等比数列可得)*"()*#!!!(())$()(!))*$)$))*$))*$!()*$’)$!"’$’))*$!("’)*$’)$!("’$!"’$(’)(!)("’$!!#函数(())的图像关于原点*()对称((,)),(())即等式"’$(,’)(!)("’$!,["’$(’)(!)("’$!]对于任意)"!都成立$(,’)(!)($(’)(!)(’$!即()*$’)(")$!对于任意)"!都成立从而只能有$!解得!#""!故所求函数的解析式为(())"’$’)或(()),"’$’)!!!!中国最早严格证明勾股定理的人是三国时期的数学家赵爽!"!"(#)#[$(#’!()!’)*$(#’!()]*$(#’!()#$(#’!()·*$(#’!()!’)*$((#’!()#,($((#’!)’!)([,’*$((#’!)]#$((#’!’!))’!)(!"(#)为偶函数"(#)#"(#)即$((#’!’!))#$((#’!’!))得$(#·*$(!’!))#*$(!’!))#又!"[!]!#!"!【强化闯关】,!!"(#)!#)*$()#!)$()#!)为奇函数"()#即!)*$(!)$(!)##!)*$!’$!##!!#)!!#$!!)($"!)故选!(!(,)由*$(!#(得,($(!#($(!#(!(!!$!#)*$!#!!#$!*$!#)!(()(*$(!($!!($(!’!)#*$!’,$!$!’*$!#’,))#(!)!由已知得()$"’(*$")(($"*$")#则)$"’(*$"#或($"*$"#所以*$"’$"’即""(!(!)从而"有"#()$(("’!))#$("*$!)’*$("$!)#$"*$"’!)((*$("$(")#$"*$"*$("’$("’!)(*$("$("*$("’$("#",’("’!)(,(",’("!!!在中国“等积原理”是南北朝时的杰出数学家祖冲之和他的儿子祖!共同研究的成果!这一发现要比西方卡瓦列利发现这个原理时大约早一千一百多年!将"#$!’(代入上式得)*$(’!!()(’(),(’()’!(’,(’()’,(’()’,(’!(!!(,)"(#))*$(’#")!([’)’(#"’),])*$(’#")!()(’#")’)(’#"!)(或"(#)’)*$(’#"!())$*$’$#’!(’)$’)(’#"!)及"!(又"(#),可得’)(’#!),)(’#!),’’!!($’#!$’!!("!所求#的集合是{#!!$#$!!,’"!}!!(,)’(!)’’)’(’()’(,)))’’)’’)(’’)’’),’),’::!)!(’)由余弦定理)*’’,’’*得**’’,’,’(*)’(*(*((*’)’,(’,的最小值为(’当且仅当*(’时取等号此时!’(为正三角形!!

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