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! ! 感谢《试题调研》给我提供了最快最有效的学习方法,它内容丰富而不繁琐,
语言简洁却不含糊,是高中生的好帮手! ———王乐! 河北省三河市第一中学
重点 "! 同角间三角函数基本关系、诱导公式
本重点所涉及的知识,在近几年的高考中,主要是以选择题,填空题
的形式出现!集中考查以下内容:任意角的概念、任意角三角函娄的定义、
同角间三角函数的基本关系、诱导公式!复习本节内容要注意如下几点:
"!由于本专题基础知识部分主要在客观题中出现,因此复习这部分
内容时,对一些题目在熟悉常规解法的前提下,重在灵、巧、活上下工夫,做到少时省
力,以适应考场的需要!
#!等价转化应突出等价性!
(")每次用公式,都应注意认真思考公式成立的条件!
(#)公式应用过程中,要认真对待符号的取舍,很多试题都把这类问题作为考查
的重点!
($)熟练掌握公式的正用、逆用、变形用或在特定条件下用,它可以提高思维的起
点,缩短思维路线,从而使运算流畅自然!
$!重视解题方法的复习!
由于本部分试题多以选择题,填空题的形式出现,因此,复习中要重视选择题、填
空题的一些特殊解题方法,如数形结合法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除
法等!
题型一! 三角函数的概念
【调研 "】! 已知%&’ ! ( )%) !*+’ ! ( ),* !
- .,求角 !所在的象限!
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
! 如果从化简不等式入手,必然要判定四个三角函数值的正负,
也就是要确定 !所在的象限!怎么办?回归三角函数值定义!请看解析!
解析! 设 "(#,$)是角 !终边上异于原点的任意一点,且 /%" / 0 &( & 1 .),由已知
%&’ ! ( )%) !
*+’ ! ( ),* !
- .,得
$
& (
&
$
$
# (
#
$
- .,2 & 1 .,3 # - .,
!
! ! 既然选择重新开始,就要尽力而为,不求别的,但求问心无愧,拼过,就不说
成败! ———悟空婆婆! 河北省邯郸市一中
故 "#$ ! % &,且 "!&,所以 !是第二或第三象限的角!
! !【知识链接】! 三角函数的定义有代数表示和几何表示两种形式,利用代数形式
可以通过设角终边上一点的坐标,计算出它到原点的距离,从而可求得角的三角函数
值;利用几何表示中的单位圆、三角函数线可以用来求解一些简单的三角不等式!在
判断角的象限时,要灵活地选取方法,如取特殊值法对解选择题、填空题来说更好,不
仅可以节省更多的时间,还提高了准确率!
拓展 ’! 若角 !满足条件 $() *! % &,"#$ ! + $() ! % &,则 !在
,-第一象限! ! ! .-第二象限! ! ! /-第三象限! ! ! 0!第四象限
【调研 *】! 使 $() #""#$ #成立的 #的一个变化区间是
,![ + 1!2 ,
!
2 ] .![ +
!
* ,
!
* ] /![ +
!
2 ,
1!
2 ] 0![&,!]
图 * + ’ + ’! ! ! ! 图 * + ’ + *
解析一! 画出角 # 的正弦线、余弦线,如图
* + ’ + ’,若 $() #""#$ #,显然应是图中阴影部分,
故选 ,!
解析二! 设 " 3 $() #," 3 "#$ #!在同一坐标系
中作出两函数图像,如图 * +’ +*,观察知答案为 ,!
解析三! 由已知得!* $()( # +
!
2 )"&,所以
*$! 4!"# + !2 "*$! 4*!,*$! 4
5!
2 "#"*$! 4
6!
2 ,令 $ 3 +’得 +
1!
2 "#"
!
2 ,故选 ,!
解析四! 取 # 3 *!1 ,有 $()
*!
1 3
!1
* ,"#$
*!
1 3 +
’
* ,排除 /、0,取 # 3
!
1 ,有 $()
!
1
3!1* ,"#$
!
1 3
’
* ,排除 .,故选 ,!
! !【技巧点拨】! 比较三角函数值的大小时,常用的方法有:
(’)借助单位圆中的三角函数线;
(*)借助三角函数图像;
(1)利用诱导公式转化为同名函数,进而利用单调性比较函数值大小;
(2)利用结论 & % ! % !* 时,$() ! % ! % 78) ! 比较大小!例如,当 & % ! %
!
2 时,比
较$() !,$()($() !),$()( 78) !)的大小!
拓展 *! 若 %、&、’是#%&’的三个内角,且 % % & % ’(’! !* ),则下列结论中正
确的是
,- $() % % $() ’ .- "#7 % % "#7 ’ /- 78) % % 78) ’ 0- "#$ % % "#$ ’
题型二! 同角三角函数的基本关系式
【调研 1】! 已知 78) " !3 *,求(’)
"#$ " 4 $() "
"#$ " + $() "
;(*)$()*" + $() "·"#$ " 4 *"#$*"
!
! ! ! ! ! 浪花因撞击而美丽,人生因拼搏而精彩!
———常帅! 河南省辉县高级中学
的值!
分析! 本题所求式子具有齐次式的结构特征,进行弦、切互化,就会使解题过程
简化!
解析!(")#$% ! & %’( !#$% ! ) %’( !
*
" & %’( !#$% !
" ) %’( !#$% !
* " & +,( !" ) +,( !
* !" & -
!" ) -
!* ) . ) - - !
(-)%’(-! ) %’( !#$% ! & -#$%-! * %’(
-! ) %’( !#$% ! & -#$%-!
%’(-! & #$%-!
*
%’(-!
#$%-!
) %’( !#$% !
& -
%’(-!
#$%-!
& "
*
!- ) - & -
- & " *
!/ ) -
. !
! !【方法探究】! 这是一组在已知 +,( ! * "的条件下,求关于 %’( !,#$% !的齐次式
的问题,解这类问题有两个方法:一是直接求出 %’( !,#$% !的值,再代入求解,但这种
方法较繁琐!二是将所求式转化为只含 +,( !的代数式,再代入求解,如本题解法!
拓展 .! 已知! %’( ! & #$% ! * "0 ,!$(1,"),求 +,( !的值!
【调研 /】! 已知:%’(." & #$%." * ",求 %’( " & #$% ";%’(/" & #$%/";%’(2" & #$%2"
的值!
分析! 从 %’( # & #$% #与 %’( ##$% #的关系(%’( # & #$% #)- * " & -%’( ##$% #入手,
采用换元法求解!
解析一! 令 %’( " & #$% " * $,则 %’( "#$% " * $
- ) "
- ,
3 %’(." & #$%." *(%’( " & #$% ")(%’(-" ) %’( "#$% " & #$%-")* $·(" ) $
- )"
- )*",
整理得 $. ) .$ & - * 1%( $ ) ")-( $ & -)* 1!
4 $! ) -,3 $ * %’( " & #$% " * ",且 %’( "#$% " * $
- ) "
- * 1,
3 %’(/" & #$%/" *(%’(-" & #$%-")- ) -%’(-"#$%-" * " ) -·1 * ";
%’(2" & #$%2" *(%’(-" & #$%-")(%’(/" ) %’(-"#$%-" & #$%/")* "!
解析二! 4 %’(.""%’(-",#$%.""#$%-",3 %’(." & #$%.""%’(-" & #$%-" * ",当且
仅当
%’(. " * %’(-",
#$%." * #$%-{ " 时等号成立,3 %’( " * 1,#$% "{ * " 或 #$% " * 1,%’( " * "{ ,
3 %’( " & #$% " * %’(/" & #$%/" * %’(2" & #$%2" * "!
! !【知识链接】!(")凡是遇到 %’( # & #$% #与 %’( ##$% #之类的问题,均应采用换元
法,令 %’( # & #$% # * $,得 %’( ##$% # * $
- ) "
- !
!
! ! 人生来不是为了被打败的,人可以死去,但决不能向失败低头!
——— 冯云鹏! 安徽省黄山市祁门县祁门一中
! !(")本题还可推广到一般情形:若 "&" 且 #$%"" & ’ ! ( )*#"" & ’ ! + ’,则 #$% ! + ’,
)*# ! + , 或 #$% ! + ,,)*# ! + ’;若 #$%""! ( )*#""! + ’,则 #$% ! + - ’,)*# ! + , 或 #$% !
+ ,,)*# ! + - ’!
拓展 .! 已知 #$% ! / #$% ",那么下列命题成立的是
0!若 !、"是第一象限角,则 )*# ! / )*# "
1!若 !、"是第二象限角,则 23% ! / 23% "
4!若 !、"是第三象限角,则 )*# ! / )*# "
5!若 !、"是第四象限角,则 23% ! / 23% "
题型三! 诱导公式
【调研 6】! 化简:#$% .",#)*# 77,# ( #$%( & 89,#))*#( & 88,#)!
分析! 应用诱导公式将任意角的三角函数转化成锐角三角函数即可化简!
解析! 原式 + #$%(78,# ( 8,#))*#(78,# & 7,#)( #$%( & " : 78,# ( 7,#))*#( & " :
78,# ( 8,#)+ #$% 8,#)*# 7,# ( #$% 7,#)*# 8,# + #$%(8,# ( 7,#)+ #$% 9,# + ’!
! !【知识链接】! 诱导公式可简记为“奇变偶不变,符号看象限”,即公式左边的角
可写成 "·9,# - !的形式,当 "为奇数时,正弦和余弦互变,正切和余切互变;当 "为
偶数时,三角函数名称不变!公式右端的符号由左边的角 "·9,# - !(把 !看作锐角)
所在的象限及其在该象限的符号来确定!
拓展 6! 角 !终边上有一点 $满足 ;%$ ; + ","!终边上有一点 &满足 ;%& ; + .,
’为线段 $&的中点!
(’)求以 %’为终边的角 #的正切值(用 !的函数表示);
(")若 23% ! + 7. ,求 23% #!
【调研 8】! 若 ($!,在:(’)#$%((! ( !7 ),(")#$%("(! -
!
7 ),(7)#$%[ (! (
( & ’)( !7 ],(.))*#["(! (( & ’)
( !
8 ]中,与 #$%
!
7 相等的是
0!(’)和(") 1!(7)和(.) 4!(’)和(.) 5!(")和(7)
解析! #$%((! ( !7 )+
#$% !7 ,(为偶数,
#$%(! ( !7 ),(
{ 为奇数 + #$% !7 ,(为偶数,& #$% !7 ,(为奇数{ ,
#$%("(! - !7 )+ #$%( -
!
7 )+ - #$%
!
7 ,
#$%[(! (( &’)( !7 ]+
#$%[( &’)( !7 ],(为偶数,
#$%[! (( &’)( !7 ],(
{ 为奇数+ #$% !7 ,(为偶数,#$%(! & !7 )+#$% !7 ,({ 为奇数
!
! ! 虽不能说胸有成竹,但《试题调研》着实给了我很大帮助,进入高三,是它让
我豁然开朗,祝愿该书越办越好! ——— 王军芳! 河南林州市一中
" #$% !& ,
’(#[)"! *( + ,)" !- ]" ’(#[( + ,)
" !
- ]" ’(#
!
- "
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) " #$%
!
& ,
故(&)(.)与 #$% !& 相等,故选 /!
! !【知识链接】! 对于 "! * !,若 " 是偶数,则角 "! * ! 的三角函数值等于角 ! 的
同名三角函数值;若 "是奇数,则角 "! * !的三角函数值等于角 ! * !的同名三角函
数值!
拓展 -! 已知定义在 ! 上的奇函数 #( $)在区间(0,* 1)上是单调递增的,若
#( ,) )" 0,#%&’的内角 %满足 #(’(# %)2 0,则 %的取值范围是
3!()!& ,!) /!(
!
& ,
!
) ) 4!(
!
& ,
)!
& ) 5!(
!
& ,
!
) )’(
)!
& ,!)
【调研 6】! 已知函数 #(")" #$% "!-("$"
(),求 #(,)· #(&)· #(7)·⋯·
#(,0,)的值!
分析! 注意到函数 #()" + ,)("$"()是周期为 - 的周期函数,再结合诱导公式
不难求解!
解析! 8 #()" + ,)" #$%()" + ,)!- " #$%(
"!
& +
!
- )("$"
(),
9 #()" + ,)是周期 ( " - 的周期函数!
#(,)· #(&)· #(7)·⋯· #(,,)" #$% !- ·#$%
&!
- ·#$%
7!
- ·#$%
6!
- ·#$%
:!
- ·
#$% ,,!- " #$%
!
- #$%
!
) #$%
!
-( + #$%
!
- )#$%
&!
)( + #$%
!
- )" +
,
).
,
又8 从 , 到 ,0, 有 7, 个奇数,而 7, " ; < - * &,
9 #(,)·#(&)·#(7)·⋯·#(,0,)"( + ,
).
);·#(,)·#(&)·#(7)" ,
)&)
< ,) <
, < ,) "
,
)&.
!
! !【知识链接】! 一般地,若函数 #($)对定义域内的任意 $,满足 #( $ * ()" #( $)
(( = 0),则称 #($)为周期函数,其周期为 (! #($ * ()" #($)的变式有:#($ + ))" #($
* ))或 #($ * *)" #($ * ))()!*),其中周期分别为 >)) >,> * + ) > !
值得一提的是,若函数 #($)对定义域内的任意 $,满足 #($ * )))" #( + $),#() *
$)" #() + $)或 #() * $)" #(* + $),则说明函数 #($)的图像分别关于直线 $ " ),$ "
),$ " ) * *) 对称!
!
! ! 有了天星,高三的日子不再黑暗,处处都是光明!
———! 屈俊桂! 安徽省利辛县一中
拓展 " ! 设 "(#)# $%&( #’ ! (
!
) )(#$!
(),求 "(*)( "(’)( "(+)( ⋯ (
"(’ ,,-)的值!
*!在#$%&中,若 ./0 $ ( ./0 % 1 ./0($ ( %),则#$%&的形状是
23正三角形! ! 43直角三角形! ! 53锐角三角形! ! 6!钝角三角形
’!设 ,"’"’!,且 * 7 &80 ’! ’ # &80 ’ 7 $%& ’,则
! 2! ,"’"!! ! 4! !) "’"
"!
) ! ! 5!
!
) "’"
9!
) ! ! 6!
!
’ "’"
+!
’
+!若函数 "(’ ( ’)#
./0 ’,’&,,
:;( 7 ’),’ < ,{ ,则 "( !) ( ’)·"( 7 =>)# ! ! ! !
)!设 "( ’)#
&80 !’,’ < ,,
"(’ 7 *)( *,’&,{ ,(( ’)#
$%& !’,’ < *’ ,
((’ 7 *)( *,’& *’
{ ,求 (( *) )( "( *+ )(
(( 9- )( "(
+
) )的值!
9!在#$%&中,若 ./0 $、./0 %满足等式 ./0 $./0 % # ./0 $ ( ./0 % (+,求角 &的取值范围!
-!在#$%&中,$($%& ’,$%& ’’),%( !7 + &80 ’,7 $%& ’),&(!,*),,"’"!,若#$%&
的重心在 )轴的负半轴上,求实数 !的取值范围!
"!是否存在角 ",#,"$( 7 !’ ,
!
’ ),#$(,,!),使得等式 &80(+! 7 ") !# ’ $%&(
!
’ 7
#),!+ $%&( 7 ") !# 7 ’ $%&(! ( #)同时成立! 存在,求出 ",# 的值,若不存在,请说
明理由!
【拓展】
图 ’ 7 * 7 +
*! 4! ? &80 ’" #’&80 "$%& " <,,@ &80 "$%& " <,,
即 &80 " 与 $%& " 异号,@ " 在二、四象限,又
$%& " 7 &80 " <,,@ $%& " < &80 ",由图 ’ 7 * 7 +
知,
! 满足题意的角 "应在第二象限,故选 4!
’! 2! 利用特殊情形!因为 $、%、&为#$%&的三个内角,因
此,存在 &为钝角的可能,而 $ 必为锐角!此时结论仍然
正确!而 $%& $、./0 $、$%. $均为正数,$%& &、./0 &、$%. &均为负数!因此 4、5、6均可
排除3故选 2!
+!在 $$(,,!)时,./0 $的符号不确定,故需要由条件进一步明确 $的取值范围,同时
求出 &80 $、$%& $的值,从而可求得 ./0 $的值!
!
! ! 昨日已悄然而逝,不要茫然,让我们把握好美好的今天,共同创造明天的辉
煌! ——— 王丽! 甘肃省张掖市第二中学
" #$% ! & ’(# ! ) *+ ,两边平方,得
(#$% ! & ’(# !), ) #$%,! & ,#$% !’(# ! & ’(#, !
) * & ,#$% !’(# ! ) *,+,
- ,#$% !’(# ! ) . ,/,+,
又" !$(0,!),- #$% ! 1 0,’(# ! 2 0,
- !$( !, ,!),且 #$% ! . ’(# ! 1 0,
- #$% ! . ’(# ! ) * . ,#$% !’(#! ! ) * &
,/
! ,+ )
3
+ ,! "
又" #$% ! & ’(# ! ) *+ ,#
由"#得 #$% ! ) /+ ,’(# ! )
. 4
+ ,
- 56% ! ) #$% !’(# !
) . /4 !
/! 7! 当 ",#$(0,!, )时,由 #$% " 1 #$% #得 " 1 #,此时 ’(# " 2 ’(# #;当 ",#$(
!
, ,
!)时,由 #$% " 1 #$% #得 " 2 #,此时 56% " 2 56% #;当 ",#$(!,4!, )时,由 #$% " 1 #$%
#得 " 2 #,此时 ’(# " 2 ’(# #;而对于 ",# 是第四象限角,由 #$% " 1 #$% #%#$%," 2
#$%,#%* . ’(#," 2 * . ’(#,#%’(#," 1 ’(#,#% *
’(#,"
2 *
’(#, #
%56%," 2 56%,#,
" 56% " 2 0,56% # 2 0%56% " 1 56% #!故选 7!
+!(*)"点坐标为(,’(# ",,#$% "),#点坐标为(/’(# ,",/#$% ,"),$点坐标为(’(# "
& ,’(# ,",#$% " & ,#$% ,"),则 56% ! ) #$% " & ,#$% ,"’(# " & ,’(# ,"
!
(,)56% " ) 4/ ,若 "属于第一象限,则 #8’ " ) * & 56%
,! " )
+
/ ,’(# " )
/
+ ,#$% " )
4
+ ,#$% ," )
,/
,+,’(# ," )
3
,+,56% ! )
94
4/,
若 "属于第三象限,则 #8’ " ) . +/ ,同理有 56% ! ) .
**
, !
9! 7! %(&)为奇函数,且在(0,& :)上单调递增,则在( . :,0)上也单调递增,当
’(# ’ 1 0 时,%(’(# ’)2 0 ) %( *, ),则 0 2 ’(# ’ 2
*
, ,
!
4 2 ’ 2
!
, ;当 ’(# ’ 2 0 时,
%(’(# ’)2 0 ) %( . *, ),’(# ’ 2 .
*
, ,
,!
4 2 ’ 2 !!综上有 ’$(
!
4 ,
!
, )’(
,!
4 ,!),
!
! ! 中国是最早应用“十进制”计数法的国家,这比所见最早的印度留下的十进
制制数码早一千多年!
故选 "!
#$ % "(# & ’)( )*+(# & ’, ! &
!
’ )( )*+[(
#
, ! &
!
’ )& ,!]( )*+(
#
, ! &
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’ )( "(#),
且 "(-)& "(,)& "(.)& "(’)( )*+( !, &
!
’ )& )*+(! &
!
’ )& )*+(
.
, ! &
!
’ )&
)*+(,! & !’ )( / +01
!
’ / )*+
!
’ & +01
!
’ & )*+
!
’ ( 2,
3 原式 ( "(-)& "(,)& "(.)&⋯ & "(, 224)( 52-[ "(-)& "(,)& "(.)& "(’)]&
"(-)& "(,) !( / , !
【强化闯关】
-! 6! 由题设知 781 $ & 781 % 9 / 781 &,即 781 $ & 781 % & 781 & 9 2,
而 781 $ & 781 % & 781 & ( 781($ & %)·(- / 781 $·781 %)& 781 & ( 781(! / &)·(-
/ 781 $·781 %)& 781 & ( / 781 &(- / 781 $·781 %)& 781 & ( 781 $·781 %·781 &,
故 781 $781 %781 & 9 2,
从而 781 $、781 %、781 &都为正值,故选 6!
,! 6! 取特殊值!取 ’ ( 2 排除 :,取 ’ ( .!, ,排除 ;、",故选 6!
.! ,! % "(’ & ,)(
781 ’,’&2,
<=( / ’),’ > 2{ ,3 "( !’ & ,)·"( / ?@)( 781 !’ ·<=[ /( / -22)]
( - A <= -22 ( ,!
’! (( -’ )& "(
-
. )& ((
5
4 )& "(
.
’ )( )*+
!
’ &[ "(
-
. / -)& -]&[((
5
4 / -)& -]&
[ "( .’ / -)& -](
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4 )& "( /
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’ )& . (
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, & +01( /
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)*+( / !4 )& +01( /
!
’ )& . (
!,
, /
!.
, &
!.
, /
!,
, & . ( .!
5!设 781 $781 % ( ),则 781 $ & 781 % ( ) / .,即 781 $、781 %是关于 ’的方程:’, /()
/ .)’ & ) ( 2 的两个实数根,故 ! (() / .), / ’)&2%)"- 或 )&?!
在#$%&中,781 $、781 %至多有一个为负值且都不为零,从而分两类:
若 781 $、781 %都为正,则
) / . 9 2,
){ 9 2 %) 9 .;
若 781 $、781 %一正一负,则 ) > 2;
综上可得 ) > 2 或 )&?!
% 781 & ( / 781($ & %)( 781 $ & 781 %781 $781 % / - (
) / .
) / - ( - /
,
) / -,
3 由 )的取值范围可得 .’ "781 & > - 或 - > 781 & > .,
!
! ! 中国的数学专著《九章算术》,是世界杰出的古典数学著作之一,这本书中已
引入了负数的概念!
故角 "的取值范围是:["#$%"& ’( ,
!
( )’(
!
( ,"#$%"& ’)!
)!依题意得
$*+ ,# - $*+ # . /
’ 0 1,"
$*+ # !- ’ +2& # . !
’ 3 1,
{ #
由"得 ,$*+,# - $*+ # 0 1,4 1 0 $*+ # 0 /, ,
5 1"#"!,4 !’ 0 # 0
!
, ;
由#得 ! !3 ’ +2& # - $*+ # 3 ,+2&(# -
!
) ),
5 !’ 0 # 0
!
, ,4
!
) 0 # -
!
) 0
!
’ ,
4 /, 0 +2&(# -
!
) )0
!’
, ,
即 !的取值范围是(/,!’)!
6!由 +2&(’! - ") !3 , $*+(
!
, - #),
!’ $*+( - ") !3 - , $*+(! . #)化简得:
+2& " !3 , +2& #,"
!’ $*+ " !3 , $*+ #,{ #
则", .#, 得 +2&," . ’(/ - +2&,")3 ,,即 +2&," 3 /, ,
4 +2& " 3 7!,, ,
又 - !, 0 " 0
!
, ,4 " 3 -
!
( 或 " 3
!
( ,
当 " 3 - !( 时,由#得 $*+ # 3
!’
, ,又 1 0 # 0 !,4 # 3
!
) ;
当 " 3 !( 时,由#得 $*+ # 3
!’
, ,又 1 0 # 0 !,4 # 3
!
) ;
于是存在 " 3 - !( ,# 3
!
) 或 " 3
!
( ,# 3
!
) ,使两等式同时成立!
因为第一组解与"矛盾,故舍去,所以 " 3 !( ,# 3
!
) !
!