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chaowenbiao
2010-10-10 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《pdf》,可适用于高等教育领域

习题.以下各表示的近似数问具有几位有效数字?并将它舍入成有效数。()==*xx()=-=-*xx()==*xx()=*x=x()==*xx()=×=×*xx()==×*xx−()=-=-。*xx解:()=*x=x=−*xx−×≤具有位有效数字。x→x()−=*x−=x=−<×−*xx−=−×<x具有位有效数字−→x()=*x=x=−*xx=−=−−×≤x具有位有效数字(不能写为)→x()=*x=x=−*xx−×<Λ,具有位有效数字x=x()=*x=x=−*xx=−−×<x具有位有效数字(不能写为)→x()=*x××==x××==−*xx−×−−××≤x具有位有效数字×=×=x()=*x−×=x*−×=x精确=−*xxx()*−=xx−=*xx−×≤=具有位有效数字精确xx−=以下各数均为有效数字:()()×()―()。问经过上述运算后准确结果所在的最小区间分别是什么?解:()===xxxx)(xe−×≤)(xe−×≤)()()(xexexxe≈≤≤)()(xexe−−××=**xx∈=−()=x−=x=−xx)(xe−×≤)(xe−×≤)()()(xexexxe−≈−≤)()(xexe−−××≤=∈−**xx,=,−()=x=x=xx,≤)(xe−×,)(xe−×≤)()()()()(xexxexxexxexxxe≤≈××=××××≤−−−()=,,**=−∈xx(),=x=x,=xx)(xe−×≤,)(xe−×≤)()()(xexxxexxxe−≈=≤)()()(xexxxexxxe−−××××=∈**xx,−=,对一元次方程如果=−xx≈具有位有效数字求其具有位有效数字的根。解:=−xx=−xx=*x,=*x=−记=*x,=x)(xe−×≤=xx==)()(xexe=−×≤∴具有位有效数字。x=xΛ===x−≈)(xe)()(xxe≤≈)()()(xxexe−−−×<×=×因而具有位有效数字。x≈x也可根据得到=xx==xxΛ=)()(xxexe−≈)()(−×≤≈xxexe若具有位有效数字问的相对误差限是多?设≈xxxxf−=)(求的绝对误差限和相对误差限。)(xf解:=x)(xe−×≤≤=)()(xxexer−−×=×xxf−=)(,xxf−−=′)(=′≈)()()(xexffe−)(xex−⋅,≈))((xfe)(xex−⋅−−×=××−×≤−≈=ffefer)()()(xex−⋅≈))((xfer≤−⋅)(xex−××−×=−×=取≈≈试按−=A和)(=A两种算法求A的值并分别求出两种算法所得A的近似值的绝对误差限和相对误差限问两种结果各至少具有几位有效数字?解:)记=*x=x=*x=x则≤)(xe−×)(xe−×≤*A=−≈−=A=−=)()()()(xexexxeAe−≈−=)()()()()(xexexexeAe≤−≈−−−=××=≤=)()(AAeAer=−不能肯定所得结果具有一位有效数字。)*A=)(=AΛ)(==)()())(()(xxexxxxeAe×−==)()()(−−××××≤Ae−−×<×=Λ∴具有位有效数字。≤=)()(AAeAer−−×=×)**AAAAAA−−=−**AAAAAA−−−≥−−−×>=×−−=Λ∴无有效位数。A计算球的体积所产生的相对误差为。若根据所得体积的值推算球的半径问相对误差为多少?解:π=VR,π=dVdRRRdRRVdVππ==RdR)()(VeRerr≈由)(Ver=知−)(−×≤Rer有一圆柱高为cm半径为±cm。试求按所给数据计算这个圆柱的体积和圆柱的侧面积所产生的相对误差限。解:)hRRV)(π=)()()()()(ReRehRRhRReVRRVVerrrr=⋅=⋅′≈ππ≤≈)()(ReVerr==×)π)(=RSRh)()()()()(ReReRhRhReSRRSSerrrr=⋅=⋅′≈ππ)()(ReSerr≈=≤答计算体积的相对误差限为计算侧面积的相对误差限为试改变下列表达式使计算结果比较精确:()coscos⎟⎠⎞⎜⎝⎛−xx,当<<x时()xx−,当>>x时()xxx−−,当<<x时()xxsincos−,当<<x时。解:()cossincoscosxtgxxxx=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−()xxxx=−()))(()()())(())(()(xxxxxxxxxxxxx−−=−−=−−=))((xxx()cossinsinsincosxtgxxxxx==−若个计算机的字长=n基数=β阶码≤≤−p问这台计算机能精确表示几个实数。解:,=n=β,,−=L=U所能精确表示的实数个数为)()()(=×××=−−−LUnββ给定规格化的浮点数系F:=β=n,−=L,,求F中规格化的浮点数的个数并把所有的浮点数在数轴上表示出来。=U解:=β,,,=n−=L=U所有规格化浮点数个数为)()()(=×××=−−−LUnββ机器零p=,×±×±,×±,×±×±,×±,×±,×±p=,×±×±,×±,×±×±,×±,×±,×±p=,−−×±−×±,−×±,−×±,−×±−×±,−×±,−×±设有计算机:=n==−UL,=β,试求下列各数的机器近似值(计算机舍入装置):()()()()()()()×()−×()×()−×()−×()。×解:,,=n−=L=U,=β()()()()()()()×()−×()×()−×()−×()×)(×=fl)(fl溢出)(−×=fl)(×=fl)(−×=fl)(fl溢出)(×fl溢出)(−×fl溢出)(×fl溢出)(−×fl溢出)(−×fl溢出)(×fl溢出考虑数列Κ。设=p则用递推公式−=nnpp(n=Κ)可以生成上述序列。试考察计算的算法的稳定性。np解:−=nnpp,Λ,,,=n。若有误差则实际按如下递推p~~−=nppn~~−−−=−nnnpppnp=)(~−−−nnpp记,则有~nnnppe−=eeennn===−Λeenn=−=nnee,误差逐步缩小数值稳定考虑数列Κ。设=p=p则用递推公式−−−=nnnppp(n=Κ)可以生成上述序列。试问计算的上述公式是稳定的吗?解:−−−=nnnppp,Λ,,=n。若和有误差则实际按如下pp递推:,~~~−−−=nnnpppΛ,,=n。记,则有~nnnppe−=−−−=nnneeeΛ,,=n)()(eeeeeeeennnnnnn−=−=−=−−−−−−−(A))()(eeeeeeeennnnnnn−=−=−=−−−−−−−(B)(A)(B)得⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=−)()(eeeeennn只需≠−ee,则∞=∞→nnelim因而递推过程不稳定已知用秦九韶法求。)(−−=xxxxxp)(p解:−−)(=p习题(题)分析下列方程各存在几个根并找出每个根的含根区间:()cos=xx()cos=−xx()sin=−−xex()=−−xex。解:()cos=xx(A)xxxfcos)(=sin)(≥−=′xxf,),(∞−∞∈xcos)(==f,cos)cos()(<−=−−=−f∴方程(A)有唯一根,*−∈x()cos=−xx(B)xxxfcos)(−=,sin)(>=′xxf,),(∞−∞∈x时cos)(<−=−×=fcoscos)(>−=−×=f∴方程(B)有唯一根,*∈x()sin=−−xex(C)xex−=sinxxfsin)(=,xexf−=)(方程(C)有无穷个正根无负根在,πππkk内有一根且)(kxlim)(=−∞→πkxkk在ππππkk,内有一根且)(kx)(lim)(=−∞→πkxkk(示图如下)L,,,=k)(xfππππx()=−−xex(D)yxex−=)(xf,)(xxf=xexf−=)()(xf方程(D)有唯一根,*∈x−−x当<x时(D)与方程xex−=−(E)xe−y同解x−当<x时(E)无根给定方程=−−xx−−x()试用二分法求其正根使误差不超过()若在,上用二分法求根要使精确度达到位有效数需二分几次?解:=−−xx))(=−−=xxxf)(−=f,)(=−<f,)(=f,*∈x,*==x)(−()())(−()())(−()())(−)(−())(−×<=−*≈≈x位有效近似值为)==aa==bb)(kkkbac=kkkabcx*=−≤−−×≤k≥−klnln=≥−k∴只要等分次为求的正根试构造种简单迭代格式判断它们是否收敛且选择一种较快的迭代格式求出具有位有效数的近似根。=−−xx解:)()(−−=−−=xxxxxf)()(−=−=′xxxf当<x时)(<′xf当>x时)(>′xf)()(<−−=−−=f)(>−=−f)(<−=f)()(−=−−=f)()(=⋅−×=fy−x−由草图可知唯一正根),(*∈x()−=xx)(−=xx)()(−=xxϕ,构造迭代格式)(−=kkxx(I)x=′ϕ当,∈x,)(>=×≥′xϕ∴迭代格式(I)发散)=xx,=xx,构造迭代格式=kkxx(II))(=xxϕ)()()(⋅=⋅=′−xxxϕ当,∈x时)()(<=⋅=≤⋅=×⋅≤′xϕ当,∈x时,,,)(),()(⊂=××=∈ϕϕϕx迭代格式(II)对任意,∈x均收敛)xxxx==xx=构造迭代格式=kkxx(III))(=xxϕ)()()(⋅−=−⋅=′−−xxxxxϕ当,∈x时)(<=⋅⋅≤⋅≤⋅=′xxxxϕ当,∈x时,,)(),()(⊂=∈ϕϕϕx迭代格式(III)对任意,∈x均收敛))()(max=⋅=′=′≤≤ϕϕxx},min{min)(max⋅⋅⋅=⋅=′≤≤≤≤xxxxxϕ},min{=⋅=取格式(III)=kkxx=x=x=x=x*≈x用简单迭代格式求方程=−−xx的所有实根精确至有位有效数。解:)()(−−=−−=xxxxxf)()(−=−=′xxxf当<x时)(<′xf*xy*x*x−−x当>x时)(>′xf)()(>−×=−−−=−f)(−=f)(<−×−=f)(−=f)(=−−=f)(−=−f))(()(>−=−−−=−f,*−−∈x,*−∈x,*∈x)−=xx迭代格式−=kkxx,)(−=xxϕ)(≥=′xxϕ当,−∈x时)(≤′xϕ,,)(),()(−<−−−=−∈ϕϕϕx任取,−∈x迭代格式收敛于*x取−=x得−=x,−=x,−=x−=x*−≈x)=xx,=xx迭代格式=kkxx)(=xxϕ,)()()(⋅==′−xxxϕ当,∈x时,,)(),()(<=∈ϕϕϕx)()(<<⋅≤′xϕ任意,∈x迭代格式收敛于*x取计算得=x=x=x=x=x=x,=x∴*=x)xx=−xx−=迭代格式kkxx−=(III)xx)(−=ϕxxxxx)()()(⋅=−−=′−−ϕ当,−−∈x时,)(),()(−−−−=−−∈ϕϕϕx,,−−⊂−−=xxxg)(=,)()()(−−−⋅=′xxxxxxg)()(−=−xxx))(()()(−−=−=xxxx当,−−∈x时)(<′xg=−=−)(g当,−−∈x时)()(=−=−≤′gxϕ迭代格式(III)对任意,−−∈x均收敛于*x取−=x计算得,−=x−=x,−=x,−=x*−=x已知)(xxϕ=在区间内有且只有一个根而当a<ba,x<时b)('>≥kxϕ()试问如何将)(xxϕ=化为适用于迭代的形式?()将xxtan=化为适用于迭代的形式并求=x(弧度)附近的根。解:()由dydxdxdy=将)(xxϕ=改写为)(xx−=ϕ,则dxxddxxd)()(ϕϕ=−当,bax∈时)(<≤−kdxxdϕ这时迭代格式为)(kkxx−=ϕL,,,=k是局部收敛的。()由图可知xxtan=在=x附近有一根但tgxtgx)(cos|)(tan==′=xx将xxtan=改写为π−πL=πxxarctan=πxxarctan)(=πϕ)(xx=′ϕ当,ππ∈x时xyarctan=π,)(ππϕ∈x且πxyarctan=)()(<≤′πϕxππ∴迭代格式kkxxarctan=πL,,,=k对任意,ππ∈x均收敛取=x得=x=x=x具有位有效数的根为*≈x习题二(第、、、、、题)设()方程)(=xf有根()对一切*xRx∈,)('xf存在且<mMxf≤≤)('。证明对于任意的),(M∈λ迭代格式)(kkkxfxxλ−=),,,(L=k是局部收敛的。解:Mxfm≤′≤<)()(kkkxfxxλ−=)()(xfxxλϕ−=)()(xfx′−=′λϕ)()(**xfx′−=′λϕ当),(M∈λ时mxM⋅−≤′≤−λϕλ)(*)(*<′xϕ∴迭代格式局部收敛。给定方程)(=xf并设是其单根且*x)(xf足够光滑证明迭代格式)()()()()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′′′−′−=kkkkkkkkxfxfxfxfxfxfxx是阶局部收敛的。证明)()()()()()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡′⋅′′′−′−=xfxfxfxfxfxfxxϕ)()()(*xgxxxf−=)(*≠xg())()()(*xgxxxgxf′−=′)()()()(*xgxxxgxf′′−′=′′)()()()()()(**xgxxxgxgxxxx′−−−=ϕ****)()()()()()()()()()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡′−−′−′′−′−xgxxxgxgxxxgxxxgxgxxxg*)(lim*xxxx=→ϕ***)()(lim)(*xxxxxxx−−=′→ϕϕϕ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡′−−⋅′−′′−′−′−−=→*****)()()()()()(()()()()()()()()(lim*xgxxxgxgxxxgxxxgxgxxxgxgxxxgxgxx)()()()()()(******=⋅−′−−=xgxgxgxgxgxg)()()()()()()(**xgxgxgxgxxxxxx′−′−⋅−−=ϕ****)()()()()()()()()(xxxgxgxxxgxgxxxgxx−⎥⎦⎤⎢⎣⎡′−⋅′−′′−)()()()(*xxxgxgxh−−′=***)())(()()()()()()(xxxhxgxxxgxgxhxxx−−′′−′−−−−=)()()(*L−−=xhxhxxx**)()()()()()(xxxhxgxxxgxg−′′−′⋅−L()****)()()()()(xxOxhxxxhxxx−−−−−=***))(()()()()()(xxxxOxhxgxxxgxg−−′′−′−***)()()()()()(xxxgxgxxxgxgx−⎥⎦⎤⎢⎣⎡′−−′=()****)()())(()()()()()(xxOxxxxxgxxxgxgxgxg−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−′′−′−′−()****)()()()()()()(xxOxxxgxgxxxgxgx−−′′−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡′=)()()()()()(**xgxgxgxgxxxx′′−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′→−−ϕ方法二)()()()()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′′′−′−=kkkkkkkkxfxfxfxfxfxfxx)()*()()*()()*()()(*=′′′−′′−′−=kkkkkkkfxxxfxxxfxxxfxfξ)()()*()()()(*)()(*=′′′′−−′′′−′kkkkkkkkkxffxxxxxfxfxxxfxfξ)*()()()()(*kkkkkkxxxfxfxfxfxx−′′′−′−=)()()*(kkkxffxx′′′′−−ξ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′′′′=−)*()()()()(*kkkkkkxxxfxfxfxfxx)()()*(kkkxffxx′′′′−−ξ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−′′′−′′′=)*()*()()(*)()(kkkkkkkxxxxxfxfxxxfxf)()()*(kkkxffxx′′′′−−ξ*)(*)(*)(*)(*)(*)()*(*xfxfxfxfxfxfxxxxkk′′′′−′′′⋅′′′→−−应用Newton法分别导出求方程和)(=−=axxfn)(=−=nxaxf的根na的迭代格式并求)()(limknknkxaxa−−∞→。解:)解方程)(=xf的Newton迭代格式)()(kkkkxfxfxx′−=)()()(xfxfxx′−=ϕ)()()()()()()()(xfxfxfxfxfxfxfx′′′=′′′−′−=′ϕ,)(lim*=′→xxxϕ′⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′′′′′=′′)()()()()()(xfxfxfxfxfxϕ,)()()(lim***xfxfxxx′′′=′′→ϕ)()()()(lim*****xfxfxxxxxkkk′′′−=′′−=−−∞→ϕ,nax=*),axxfn−=)()(−=′nnxxf,)()(−−=′′nxnnxf,)()(−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=′axnxxfxfnnxnnxxnnxfxfnn)()()(−=−=′′′−−Newton迭代格式−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=axnxxxnknkkknkknknkkxnaxnnxaxx−−−=−−=)(nnknknkananxaxa⋅−=−−=−−∞→lim)nxaxf−=)(,)()(−=′nanxxf,)()()(−−=′′nxnanxfnxanxanxxaxfxfnnn−=−=′−)()()(,xnanxxnanxfxfnn)()()()()(−=−=′′′−−Newton迭代格式anxxnnxanxxxfxfxxnkkknkkkkkk)()()(−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=′−=nknknkanxfxfxaxa⋅=′′′−=−−∞→)()()(lim**试写出求方程=−cx(其中c为已知正常数)的Newton迭代格式并证明当初值满足xcx<<时迭代格式收敛。该迭代格式中是否含有除法运算?解:记xcxf)(−=,则求c等价于求方程)(=xf的根)(xxf=′,)(xxf−=′′Newton迭代格式为)()()(kkkkkkkkkcxxxxcxxfxfxx−=−−=′−=L,,,=k对任意),(cx∈存在充分小的δ(δ<c),(δ<)使得∈xδ,−cδ现在考虑区间=δ,ba,−cδo)()()(<−=−==δδδδccfaf)()()(>−−=−−−=−−=−−=−=δδδδδδδcccccccccccccfbf)()(<bfafo当,bax∈时)(>′xfo当,bax∈时)(<′′xfoδδδδδδ−≤−=′−ccff)()()({))((≥−−δδccδδδccc−≤−)(δδδ−≤−cc)(}⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=−′−−−)()()()(δδδδδccccfcfcδδδ≥−⋅=)(ccc因而当),(cx∈时Newton迭代格式收敛。直接证明)(kkkcxxx−=)()(kkkkc

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