2009年第12期 数 学教．学 12-27
去sAB D，所以 CH·DG+ AG·BF=
B。
， 即 JEi = F +BF。．这一证明的好
处就是无需用到平方和
公式
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，小学生都能接受．
对于图9，我们还可以这样
分析
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：SAABD=
SAADG-~SABDG"[-SAABG=SAADC-}-SAFDG
+s△A日G=S△ADF+s△ABG，即去 B ：
1 1
二
去 F．DG+去 G·BF，即 B ： F +
厶 二
BF2．
图 9 图 10
将图9中的Rt△ GD平移一点，得到图10，
由S△TAC+S△BRS=S△TAS+S△TSC+S△BRS
= STARB得a +b = c2．
将图10中的Rt△RS 再平移一点，使得S
与 重合，则可得与图3一样的证法．这就说明
欧几里得证法和赵爽弦图证法本质上都可以看
作是两个直角三角形拼摆而成，东西方两种经典
的证明由此联系，合为一体．
本文的探究告诉我们，证明勾股定理，并不
要去花心思构造太复杂的图形．只需拿两个完
全一样的直角三角形拼摆，再根据面积关系就能
简单证明，而且证法是多种多样的．需要注意的
是将一个三角形的短直角边与另一个三角形的
长直角边相靠容易构造出平方．如果将一个三角
形的直角边与另一个三角形的斜边相靠(图ii)，
则很难构造出平方．
C
＼
A R B
图 11
直角三角形的三边符合勾股定理，这本是一
个天然的性质，却需要另外一个自我才能证明．
就好像有人寄东西给你，当你去邮局取时，自己
却不能证明自己的身份，此时身份证就成了你的
另一个自我．当然，勾股定理可以无需借助其他
图形就实现证明的，最典型的证明莫过于向量法
了．
参考文献
【l】张景中．再生的证明[J】．数学教师．1985
(1)：l3—15．
(上接第12～25页) 必要性：由BD上 ，得(b 十 )·( 十
证明：设 = ， =一b， = ， )：( + )．( + )：0．
’
⋯ ．_÷ 1 一 -_+ -_÷ -_÷ 、0 、 __÷ DA ： d
，则 + b+ + d= 0 ．且 展开得 6’． +。6 ． ’十 + ． ：
BD‘= b‘+ -c-+： 一 一 d
，
0， + ．一b + 一d
． + b． ：0．将两
cA= + d = 一 a— b ．
，
式合并整理，可得 + + ．( + +
充分 ：由 +b+ +d‘= 0 ，得才+ )+ ．( + + )：0
． 又由 + +
= 一 b— d·两边平方后， 有 一C+ ：
，
从而 。十一c 2： b + ．
+2 · + ： b +2 b·d+d ． 目前向量法进入我国中学几何课程才刚刚
因对边平方的和相等，即 + = + ， 起步，对它的认识有待加深，本文仅是抛砖引玉
从而 ． ： ．--d-+
． 而 已．
-- -- -4．BD．C—A=( b+-a
，
)．(
、
-
F+ d) ． =f + ． + 1
： b． + b． d+ +-F． d ： ． + ． + + ．
： ． + ． + ． + 2
： ．(了+ + + )：0．
所以 上 ．
参考文献
【1]【美]波利亚(G．Polya)．怎样解题[M】．上
海：上海科技教育出版社，2007．
f2】陈省身．九十初度说数学[M】．上海：上海
科技教育出版社，2001．
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