· 16· 中学数学月刊 2004年第7期
双曲线的几个有趣性质与应用
玉邴图 (云南省广南一中 663300)
笔者最近对双曲线的准线作了些研究，
得到了几个十分有趣的性质，供读者参考．
定理1 设直线 经过双曲线 一 bz一
1(a>0，b>0)的焦点F， 交双曲线的两条
准线于 ，B两点，0是双曲线的中心，e是离
心率， 的倾斜角为0(0∈(0，7())，则OA上
OB的充要条件是sin 0一 ．
证明 由对称性，不妨设 的方程为Y
一 志(z—f)(其中 志一tan )，分别与z一
一
a2和z一 联立，解得两交点 (一 a2
，
一 拿 B( a2，拿 故OA J_ f f f 。 一
0B车 z^ ·zB+ Y^ ·YB一 0，即a +志 (a 一
f )一0，或1+志 (1一e )一0．把志 一tan 0
代入，即得sin2 一 1
，
．．．sin 一 1(因为 ∈
(0，7r))．
若将焦点引申为顶点，进行研究，则得
定理2 设直线 经过双曲线 一 一
以
1(a>o，b>0)的实轴顶点E， 交双曲线的
两条准线于 ，B两点，0是双曲线的中心，e
是离心率， 的倾斜角为0(0∈(O，7r))，则OA
_l_OB的充要条件是sin 0一 ．
证明 由对称性，不妨设 的方程为Y
一 志(z—a)(其中 志一tan )，分别与 一
一 等和z一 联立，解得两交点 (一等，
一
志)，B(_=_a z
， _二三 志)，故OA_上_ c c c 。 ——
OBC=~x^ ·zB+ Y^ ·YB一0，即a +志 (a 一
aZc )一0，或 1+志 (1一e )一0．把志 一
tan 0代人，即得sin 0一 1
， ．
·
．
sin 0—1(N
为 0∈ (0，7r))．
若将经过焦点或顶点的直线引申为切
线，进行研究，则得
定理3 设直线 是双曲线笔一 一
1(a>0，b>0)的切线， 交双曲线的两条准
线于 ，B两点，O是双曲线的中心，e是离心
率， 的倾斜角为0(0∈(0，7r))，则OA上OB
的充要条件是COS2 0 1一 ·
证明 由题设可设 的方程为Y一志z+
(志一 tan )，代人双曲线方程得(6 一
a Zk )z 一2a 志 z—a (6 + )一0．因为直
线与双曲线切，所以△=4a 志 +4a (6 一
aZk )(6 + )一0= a。忌 一b + ：> 一±
JaZk z—b ． 由 对 称 性，不 妨 取 —
JaZkz—b ，所 以 的方程为 Y： 志z+
==_
，分别与z一一 和z一 联
立，解得点 (一 ， 二 一 志)，
B‘ az
， + 志)，故OA_上_0B甘z
／1
4
·zB+Y^ ·YB一0，即一 +(a 志 一b )一
4
"
-
一
- k 一 0， 由 此 解 得 志 一 tan 0一
．
‘
．co 一 一 一 一 ．
近年来，与上述几个定理有关的问题也
是考试的热点，下面举例说明．
例 1 经过双曲姥 a 2 一 y-一 l(a> 0，
b>o)的左焦点F，斜率为一÷的直线z交
双曲线的两条准线于 ，B两点，以AB为直
径的圆恰好经过坐标原点O，若点P(3，2)在
双曲线上，求此双曲线方程．
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2004年第7期 中学数学月刊 ·17·
(2003年河北省唐山市高考模拟题)
解 设直线 的倾斜角为 ，则由题设得
tan 0一一÷ sin 0一詈．因为以AB为直径
的圆经过坐标原点O，所以／AOB一9O。，故
由题设及定理 1得
sin 一 一 一 a2 5
日z一 3c2 2日z
e C
一 3b。．又知双曲线经过点P(3，2)，所以 一
素：1，联立两式解得日 一3，b 一2．故所求
的双曲线方程为 一等一1．
例2 已知倾斜角为45。的直线 经过双
曲线 一 一1(日>o，6>o)右顶点， 与
双曲线的两条准线相交于 ，B两点， 到坐
标原点0的距离是 2，且OA上OB，求双
曲线方程．
(2004年北京海淀区高考模拟题)
解 因为0—45。，AO j-BO，由题设及
定理2得 ：sin 45。= =丢一 p ， n
2，所以此双曲线为等轴双曲线．又知直
线 的方程为Y一．22一日，它到点o(o，O)的距
离是d一 一 厂 n一2，故所求的双
~／Z
曲线方程为z。一Y 一4．
例3 已知直线 是等轴双曲线z 一Y
一n 的一条切线，它与双曲线的两条准线分
别相交于 ，B两点，且坐标原点0对 ，B两
点张直角，求切线 的倾斜角 的大小．
解 因为 日一 6，f一 日 +b 一
2日，所以e一 2，由题设及定理 3得
c0S2 = 1 — 1 一 1 一 1 一 {，所以
COS 0一± ．
故所求的倾斜角为{或 ．
一 个最值定理 论的加绳厦应用
颜学华 (湖北省武汉市一中 430022)
现行高二(上)《数学》课本(试验修订本
· 必修)(人教版，2000年第2版)第1O页例1
给出：
定理 1 已知32，Y都是正数，
(1)如果积xy是定值尸，那么当且仅当
32一Y时，和z+Y有最小值2 尸；
(2)如果和z+Y是定值S，那么当且仅
1
当z—Y时，积xy有最大值÷ ．
实际上，可把此最值定理推广为以下适
用范围更广的结论：
定理 2 设z，Y>0，
(1)若xy一定值尸，则当且仅当 Iz—
Y I取最小值时，z+Y取最小值；Iz—Y I取
最大值时，z斗 Y取最大值；
(2)若z+Y一定值 ，则当且仅当
Iz—Y I取最小值时，xy取最大值；Iz—Y I
取最大值时，xy取最小值．
证 明 (1) 由 z + Y 一
=二_ 而 一~／] 二二_ F ，显
然得证．
1
(2)由xy=÷[(z+ ) 一Iz—Y I ]
L上
1
一 ÷[ 一Iz—YI ]，显然得证．
‘±
例1 (1)设z，Y∈N ，xy一60，求z+
Y的最值；
(2)设z，Y∈N ，z+Y一61，求xy的
最值．
解 (1)不妨设z≥Y，得Y≤ 6O，又
Y是6O的正约数，得Y≤6．由定理2的(1)，
当且仅当Iz—Y I取最小值即Y取最大
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