橡胶材料的超弹性本构模型

专论·综述 弹性体 ,2005202225 ,15 (1) :50～58CHINA 　ELASTOMERICS 收稿日期 :2004209206 作者简介 :李晓芳 (1977 - ) ,女 ,湖北天门人 ,博士研究 生 ,主要从事橡胶类材料力学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 方面的工作 , E - mail : featnofail @fzu. edu. cn。3 基金项目 :国家自然科学基金项目 (50375028) 橡 胶 材 料 的 超 弹 性 本 构 模 型 3 李晓芳 ,杨晓翔 (福州大学 化学化工学院 ,福建 福州 350002) 摘 　要 :首先对橡胶材料的超弹性理论进行了简单的总结 ,然后从分子统计热力学和连续介质力学 两方面综述了国内外一些经典的有代表性的橡胶材料不可压缩本构模型 ,同时还介绍了这些本构模型 的适用范围和应用局限性 ,阐述了橡胶材料可压缩性对本构模型的影响。 关键词 :橡胶材料 ;本构模型 ;超弹性 ;应变能 中图分类号 : TQ 330. 1 　　文献标识码 : A 　　文章编号 :100523174 (2005) 0120050209 　　天然橡胶与合成橡胶呈现出很多独特的物理 和化学的特性 ,如强弹性、大变形 ,且柔软性、耐磨 性、绝缘性和阻隔性都十分优良 ,能满足很大范围 的使用要求 ,尤其在 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 上的应用非常广泛。特 别是橡胶的硫化和添加剂的使用提高了材料的机 械和物理性能 ,使得它拥有更多的应用领域 ,具有 更重要的商业意义[1 ] 。 橡胶材料的研究已有很长的历史 ,在过去 50 多年里人们试图对橡胶材料做真实可靠的描述 , 但是由于它复杂的分子特性以及材料和几何的双 重非线性 ,而且这种材料对于温度、周围的介质、 应变随时间的变化、载荷率和应变量等的作用和 影响十分敏感 ,这使得建立精确的数学模型更加 困难。橡胶材料的用户和制造商为了设计计算 , 现在已经利用了复杂的数值技术 ,但这种数值方 法的精确与否也取决于所使用的本构模型 ,而且 由于三维模型的应力应变行为在任何复杂变形的 数值模拟中都是很重要的 ,因此最近十多年 ,计算 力学的飞速发展 ,特别是有限元分析的发展 ,使得 三维大应变分析成为复杂弹性体产品的设计生产 过程中不可缺少的一部分 ,同时对橡胶弹性本构 模型提出了更苛刻的评价 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ,促使橡胶材料的 弹性本构模型更进一步发展。科学技术的进步及 各行各业的发展对橡胶材料质量的要求也越来越 高 ,因此人们必须投入越来越多的努力去寻找橡 胶材料的新模型[2 ] 。 人们一般从下列三个主要方面对橡胶材料复 杂的高度非线性行为来进行研究[3 ] :在静载作用 下的非线性弹性行为 ;在循环载荷作用下的粘弹 性行为 ;在预应力作用后表现的应力软化现象 ,即 Mullins 效应。本文主要综述用来描述橡胶材料 在静载作用下的弹性本构模型。 1 　基本理论 对于橡胶材料 ,即使变形相当大 ,也仍可近似 地把它当成弹性材料来处理 ,弹性材料的变形过 程是可逆的 ,如无其他不可逆伴随 ,单纯的弹性变 形过程的熵产率为零 ,也就是单位质量的热力学 能等于单位质量的应变能 ,对于等温过程 ,单位质 量的自由能便是单位质量的应变能 ,存在应变能 的材料称为超弹性材料 ,因此橡胶材料属于超弹 性材料。在研究橡胶材料时 ,人们一般认为它是 各向同性不可压缩的超弹性体 ,它的物理属性主 要通过应变能函数来表达 ,每种模型都是应变能 函数的某种特殊形式 ,一旦确定了应变能函数 W 的形式 ,柯西应力张量σ就可以由下式给出 : σ = - pI + 2 9W9I1 B - 2 9W9I2 B - 1 (1) 式中 , I 是单位张量 ; 为左 Cauchy2Green 变形张 量 , p 是由于不可压缩假设引入的水静压力 ; I i 是 B 的不变量 : I1 = B , I2 = 1 2 [ I 2 1 - t r ( B2) ] , I3 = det B (2) B 的不变量和主伸长率之间的关系为 : I1 = λ21 +λ22 +λ23 I2 = λ21λ22 +λ22λ23 +λ21λ23 (3) I3 = λ21λ22λ23 由于认为橡胶材料的变形过程是各向同性且 不可压缩的 ,所以 I3 = λ1λ2λ3 = 1 由 (1) 式和 (3) 式可以得到 σi = 2 λ2i 9W9I1 - 1λ2i 9W9I2 - p , i = 1 ,2 ,3 (4) 由式 (4) 可以导出几种常用实验中柯西应力的表 达式。 在单轴拉伸与压缩实验中 : σ11 = 2 λ21 - 1λ2 9W9I1 + 1λ1 9W9I2 (5) 在简单剪切实验中 : σ12 = λ1 - 1λ1 9W9I1 + 9W9I1 (6) 在等双轴拉伸实验中 : σ11 = σ22 = 2 λ21 - 1 λ21 9W9I1 +λ21 9W9I2 (7) 在双轴拉伸实验中 : σ1 = 2 9W9I1 λ21 - 1λ21λ22 + 9W9I2 λ21λ22 - 1λ21 (8) σ2 = 2 9W9I1 λ22 - 1λ22λ21 + 9W9I2 λ22λ21 - 1λ22 (9) 在与橡胶弹性有关的文献中 ,能找到许多用 来描述弹性体力学行为的理论模型。一般来说它 们可以分成两大类 ,一种是基于统计热力学的动 力学理论 ,另一种是不考虑弹性体的微观结构和 分子本质 ,认为弹性体是连续介质的唯象学 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 。 2 　统计热力学法 用统计热力学法研究弹性体材料可以追溯到 1940 年 ,该方法试图从硫化橡胶的理论模型中得 出它的弹性本质 ,这种理论也是我们理解橡胶大 分子属性的基础[1 ] 。它认为弹性体是很多任意取 向的长的柔性分子链通过分子间稀疏的交联点组 成的分子网络 ,由于分子间的相互作用力很弱 ,使 得它的应力应变行为主要取决于构象熵[4 ] ,正是 这种分子网络结构使橡胶材料能够产生大应变的 超弹性变形 ,因为分子链段的内旋转运动 ,才会不 断改变构象 ,分子越柔越易卷曲 ,构象数越多 ,构 象熵就越大 ,由这种熵弹性而产生了高弹性。 2. 1 　高斯统计模型 kuhn 首先提出用统计的方法计算高分子链 的构象 ,得到高分子链末端距的几率密度函数为 高斯函数。1943年 Treloar 把高斯统计理论应用到 高分子网链中来描述橡胶材料的宏观行为[3 ,5 ] , 在推导交联橡胶弹性统计理论公式时 ,做了一些 假设 :体系热力学能与各链构象无关 ;每个交联点 由四个链组成 ,交联点是无规分布的 ;两个交联点 之间的网链为高斯链 ,其末端距符合高斯分布 ;由 这些高斯链组成的各向同性的交联网络的构象总 数是各个网络链构象数目的乘积 ;网络中各交联 点都固定在它们的平均位置上 ,当橡胶变形时 ,这 些交联点将以相同于橡胶试样宏观变形的比率变 形 ,即所谓的仿射变形。最后从构象熵的改变得到 弹性应变能函数为 : W = 12 nk T (λ 2 1 +λ22 +λ23 - 3) (10) 式中 , n 为 平 均 单 位 体 积 的 网 链 数 ; k 为 Boltzmann 常数 ; T 为绝对温度 ;λi 为主伸长率。 高斯统计模型是基于假设末端距远小于分子 链的全部伸展长度 ,因此它不能用来描述分子链 的伸展过程 ,这也是该模型的局限所在 ,它只能用 来近似预测小变形时的情况。 2. 2 　非高斯统计模型 当分子链的末端距达到全部伸展长度的 40 %时 , 就必须要考虑非高斯链的影响[4 ] 。为了 克服以前模型的局限性 ,人们便开始用更复杂的 非高斯统计理论来研究橡胶分子网链的变形。 2. 2. 1 　单链弹性 1942 年 ,kuhn 和 Grün 用非高斯统计理论来 研究分子链的伸长极限 ,用朗之万统计理论来说 明分子链伸长率的影响[6 ] 。这种理论是基于理想 仿射链的无规行走统计理论 ,把长链分子看成 N 个长度为 l 的链段组成 ,它的均方末端距为 N l , 最大长度为 N l ,因此极限伸长率为 N ,相应的 应变能函数为 : W = N k T λ N β+ ln β sin hβ (11) ·15·第 1 期 李晓芳 ,等. 橡胶材料的超弹性本构模型 　　　 这里β = φ- 1 (λ/ N ) ,φ- 1 为反朗之万函 数 ,朗之万函数φ( x ) = coth ( x ) - 1/ x ,单链上 的真实应力可以通过 W 分别对伸长率求偏导数 得到 : σ = λ9W9λ = λk T Nφ- 1 λN (12) 为了把这种更准确的单链统计理论应用到橡 胶弹性本构理论中 ,必须设想一个结构模型来使 变形和单链分子伸长率联系起来 ,在此基础上人 们提出了以下几种模型。 2. 2. 2 　满链模型 t reloar和 Riding (1979年) [7～9 ] 提出了满链模 型 ,设想由弹性体组成的一个单位球体 ,分子链在 上面任意分布且以仿射方式变形 ,把式 (12) 在球 体上积分就能得出在单轴拉伸或双轴拉伸时的分 子网 络 变 形 响 应 ,1992 年 Wu 和 van der Giessen[10 ] 提出了一个新方法对所有载荷形式求 应力积分 ,得到的柯西主应力为 : σi = - p + 14πCR N∫ π 0∫ 2π 0 φ- 1 λ N λ4 m2isinθdθdφ (13) 式中 , CR = nk T ; m 1 = sinθcosφ; m 2 = sinθsinφ; m 3 = cosφ λ- 2 = 63 i = 1 m 2 i λi (14) 这个模型的主要优点是它仅取决于两个物理 参数 CR 和 N , 这两个参数很容易根据实验来确 定 , 并且和各种变形方式的实验结果吻合较 好[11 ] ( Wu 和 van der Giessen ,1993 年) ,但是它需 要对应力张量进行积分 ,由于需要花费很多的计 算时间 , 因此在有限元计算中没有采纳这种模 型[3 ] 。 2. 2. 3 　P 链模型 另外一些研究者用非高斯统计理论建立的较 简单的模型不需要数值积分 ,设弹性体网链密度 为 n ,在载荷作用下 ,球体变成椭球 ,它的对称轴 是变形连续体的主伸长方向 ,这种模型的主要特 征是限制整体有 p 个优先伸长方向 ,假定未变形 时在单位体积中每个方向有 n/ p 个分子链 ,那么 就不用像以前那样采用应变能的积分形式 ,总的 应变能就可以直接由 p个单链的应变能总和乘上 n/ p [3 ]。 仅定义三个主应变方向的模型是最简单的 p 链模型 ,它是 James 和 Guth [12 ] 在 1943 年提出来 的。它的应变能函数为 : W 3 ch = nk T 3 N λ1β1 + N ln β1 sin hβ1 +λ2β2 + Nln β2 sin hβ2 +λ3β3 + Nln β3 sin hβ3 (15) 把主应力表示成主伸长率的函数是 : σi = - p + 13 CR Nλiφ - 1 λi N (16) 同样 , Flory (1944 年) [13 ] 提出了四链四面体 模型 ,四个分子链分别由四面体的四个顶点与四 面体的中心相连。为满足平衡要求 ,这个模型的中 心点以非仿射方式变形 ,它比三链模型的变形方 式更协调 ,随着四面体的变形 ,分子链伸长和旋 转。由于针对每一种变形方式都必须计算四面体 的中心位置 ,因此不能得出应力与伸长率之间的 简单关系式 ,且由于它给出的结果和三链模型类 似 ,所以这种模型并不常用[7 ] 。 基于这种理论最新的模型是由 Arruda 和 Boyce[14 ] (1993 年) 提出的八链模型 ,八个分子链 正好由立方单元体的对角线组成 ,由于分子链结 构的对称性 ,在变形过程中内部交联点始终处于 中心位置。这种模型最主要的特征是几何形状关 于三个主轴对称 ,八个分子链都具有相同的伸长 率λchain = (λ21 +λ22 +λ23) / 3 ,应变能函数为 : W8ch = nk T N βchainλchain + N l n βchain si nhβchain (17) 　　这样可以得到较简单的应力与伸长率的关 系式 : σi = - p + 13 CR N λ2i λφ - 1 λ N (18) Arruda2Boyce 模型的应变能函数在单轴拉伸 实验中能描述大变形时的应变硬化 ,但是这个模 型没有考虑填料的影响 ,而且形式非常复杂 ,即使 在简单变形中也很难获得封闭解[11 ] 。 2. 2. 4 　分子链模型的比较 为了比较这几种分子链模型的精确性 ,Wu 和van der Giessen[11 ] 分析了James et al[15 ,16 ] 的实 验数据 ,得出八链模型比三链模型和满链模型能 ·25·　　　 弹 　性 　体 第 15 卷 更成功的预测双轴拉伸实验数据。Arruda 和 Boyce[4 ] 也得出同样的结论。所有的模型都适合 于单轴拉伸实验 ,因此它们的精确与否取决于对 剪切和双轴拉伸实验的预测能力。三链模型能描 述单轴拉伸实验中变形的非高斯统计属性 ,然而 尽管在小伸长率时它能说明不同变形状态的力学 行为 ,但是在大伸长率时 ,它对所有变形状态的力 学行为预测几乎是一样的 ,因此除单轴拉伸实验 外它不能用于模拟大变形的实验数据。在八链模 型中分子链随着变形而伸长且相对于最大主伸长 轴旋转 ,是以更协调的方式变形 ,八链模型能说明 等双轴拉伸和单轴拉伸的区别 ,且对双轴拉伸有 预测能力 ,而且比满链模型预测的结果要好 ,但三 链模型不能预测双轴拉伸。满链模型的预测能力 之所以在八链模型和三链模型之间 ,主要是因为 它在非高斯统计区域假设了仿射变形 ,实际上在 分子链的真实结构中 ,随着变形的增加而逐渐成 为非仿射变形 ,由于八链模型没有这个假设 ,所以 它能有效地描述网络变形响应。 尽管基于非高斯统计理论的模型能说明在大 变形中极限伸长的影响 ,但是还是不能解释小中 变形时的高斯统计理论与实验数据的偏差。Boyce 和 Arruda[4 ] 认为可以用一个混合模型来描述所 有变形状态的整个拉伸过程 ,即由 Flory2Erman模 型描述小变形 ,用 Arruda2Boyce 模型描述大变形。 Flory和 Erman (1982年) 提出一个约束网络模型 , 这个模型考虑了由于链之间的相互作用而引起的 幻象特性对交联点的约束 ,这是对 Flory以前提出 的幻象网络模型的进一步发展。分子网络的弹性 应变能为幻象网络的应变能总和 Wph 加上由于 约束对应变能的影响 W c : W FE = W ph + W c (19) 式中 , W ph = 12ζk T (λ 2 1 +λ22 +λ23 - 3) ,这个式子 不同于高斯模型 ,因为 ζ = 1 - 2φ n (20) 式中 , n 是网链密度 ,φ是每个交联点有连接的分 子链个数 ,当φ = 4 时就是四链模型。 W c = 1 2 nk T 6i [ B i + D i - ln ( B i + 1) - ln ( D i + 1) ] (21) 这里 　B i = κ2 (λ2i - 1) (λ2i +κ) - 2 (22) D i = λ2iκ- 1 B i (23) κ用来测量约束强度 ,它取决于自由波动和实际 约束波动的相对大小。这个约束网络模型依赖于 参数 n ,φ和κ。当κ→∞时交联点的位置完全固 定 ,表现出仿射网络的性质 ,当κ→0 交联点的位 置波动 ,表现出幻象网络的性质。n 可以取很大的 正值 ,φ必须大于 2。 把 Flory2Erman 模型和 Treloar 的实验数据相 比较 ,可推得φ = 4。在 Flory2Erman 模型中用单 轴拉伸实验数据拟合的参数能很好的预测等双轴 拉伸实验中小变形时的数据 ,但是在大变形时却 和高斯统计理论一样和实验数据偏离很远 ,这表 明在应变能函数中必须用到非高斯统计项。因此 , 用 Flory2Erman模型描述小变形 ,用八链模型描述 大变形 ,这将比其他任何模型能更好的预测整个 变形的响应。 3 　连续介质力学法 3. 1 　以应变不变量表示的应变能密度函数 大多数连续介质力学处理橡胶弹性时 ,都把 橡胶材料的变形看成是各向同性的超弹性体的均 匀变形 ,这样应变能密度函数就可以表示成主伸 长率或者是变形张量的三个不变量的函数。 弹性体一般被近似的认为是不可压缩的 ,因 此 I3 可取成常数或等于 1 . 0 ,这样它对应变能函 数就没有影响。最一般的应变能表达式是由 Rivlin (1951 年) [17 ] 提出的 : W R = 6∞ i , j = 0 Cij ( I1 - 3) i ( I2 - 3) j (24) 式中 , Cij 为材料常数 ,这个模型相当复杂 ,人们一 般在此基础上做各种简化 ,提出适当的模型 ,如果 只保留第一项 ,可得到 : W NH = C10 ( I1 - 3) (25) Rivlin 把 遵 循 式 子 (25) 的 材 料 称 为 Neo2Hookean材料。当 C10 = 12 N k T 时 ,它等价于 高斯统计模型。 Neo2Hookean 模型具有常剪切模型 , 一般它 只适用于近似预测 30 % ～ 40 % 的单轴拉伸和 80 %～ 90 %的纯剪的橡胶力学行为。尽管此模型 不如其他模型精确 , 特别是在大应变时 , 但是 Neo2Hookean 模型也有几个优越之处 ,首先它可 以由统计热力学方法得到 ,且只有一个材料常数 , 最大的优点是这个模型的无条件稳定性 ,一种变 ·35·第 1 期 李晓芳 ,等. 橡胶材料的超弹性本构模型 　　　 形方式下的应力应变曲线拟合的材料常数能用来 预测其他变形方式的应力应变曲线 ,至少在小应 变到中等应变是如此。 如果对式子 (24) 保留前两项 , 就和最早 Mooney (1940 年) [18 ] 提出的模型一样 : W MR = C10 ( I1 - 3) + C01 ( I2 - 3) (26) 这就是工程上被广泛应用于弹性体变形研究 中的 Mooney2Rivlin 模型 ,它的成功在于能说明在 单轴拉伸实验中高斯统计模型 (neo2Hookean) 和 与实验数据的一些偏差 ,但是它同样得到的是常 剪切模量 ,不能较精确的描述炭黑填料硫化橡胶 的力学行为[4 ] 。尽管这个模型用起来很方便 ,但 人们发现它不能预测多轴向数据 ,由某种变形方 式的数据拟合的模型不能预测其他变形方式的行 为。Tschoegl[19 ] 认为这个不足主要是因为相对于 Rivlin 模型 ,它没有选择足够的展开项 ,所以有人 提出了几种高阶项的 Mooney2Rivlin 模型。James 和 Green[20 ] 在 Rivilin 模型的基础上提出了五项 到九项展开式的模型。Morman 和 Pan[21 ] 在设计 橡胶衬套之类的汽车橡胶零件而进行的有限元分 析专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 研究中 ,就采用了不可压缩性的 Rivlin 级 数方程的三阶展开式 ,也是比较常用的一个高阶 应变能函数 : W = C10 ( I1 - 3) + C01 ( I2 - 3) + C11 ( I1 - 3) ( I2 - 3) + C20 ( I1 - 3) 2 + C30 ( I2 - 3) 3 (27) 尽管这些高阶应变能函数比低阶应变能函数 对实验数据拟合得更好 ,但是人们发现它对所输 入数据范围以外的实验数据的预测能力不如那些 较简单形式的应变能函数。Haines 和 Wilson[22 ] 认 为 ,实际应用的应变能函数不仅仅只是取 Rivlin 级数方程的所有的低阶项 ,而是要通过观察实验 中的应力应变数据 ,然后根据经验选择所需级数 项。 在研究炭黑填料对天然硫化橡胶的应力应变 关系影响的过程中 , Gregory[23 ] 注意到在单轴拉 伸、单轴压缩和简单剪切的应力应变数据之间存 在一个简单的关系 ,但必须满足下列两个条件 : ( a) 9W / 9I1 > > 9W / 9I2 ( b) 9W / 9Ι2 与 I2 无关 Yamashita 和 Kawabata[24 ] 发表的实验数据 表明在炭黑填料橡胶中确实存在着关系 (a) 式 , Kawabata 和 Kawai[25 ] 对于一些橡胶的实验数据 也出示了同样的结果 ,这些结果还表明 9W / 9I1 和 9W / 9I2 随着 I1 的增加而快速下降 ,在一个较 小应变不变量 I1 处达到最小值 ,接着随 I1 的增加 而增加 ;相反 , 9W / 9I2 随着 I2 增加的变化趋势是 首先快速增加 ,在某个小应变不变量 I2 处达到最 大值 ,而后下降。而且填料橡胶在中等变形区和非 填料橡胶在小变形区时的 9W / 9I1 和 9W / 9I2 关 系很相似 , 这和填料橡胶的应变放大效应相一 致[26～28 ] 。还有对于填料橡胶 , 9W / 9I2 不仅比9W / 9I1 小得多 ,而且接近于零。因此 , Yeoh[27 ] 对 上面的假设做了简化 ,让 9W / 9I2 等于零 ,他通过 实验得出在单轴拉伸、单轴压缩和简单剪切中 ,简 化应力σ/ (λ - λ- 2) 和τ/γ随 ( I1 - 3) 的增加而 降低 ,达到一个最小值 ,而后又增加 ,因此他提出 一个三次应变能函数 : W = C10 ( I1 - 3) + C20 ( I1 - 3) 2 + C30 ( I1 - 3) 3 (28) 上述假设 ( a) ( b) 严格地讲是不满足的 ,对于 非填料橡胶 , 实验数据显示出 9W / 9I1 和9W / 9I2 随着 I1 和 I2 的改变的确存在一些变化 , 特别是在小应变区 ,但是在大应变时 , 9W / 9I1 确 实比 9W / 9I2 大的多 ,而且与 I2 无关。因此在小 应变区 , Yeoh 模型和实验数据确实存在一些偏 差 ,但是在有限元分析中这点偏差并不是很严重 , 因为在小应变区应力也很小 ,尽管相对误差可能 很大 ,但是绝对误差却很小。Yeoh 模型和有着常 剪切模量的 neo2Hookean与 Mooney2Rivlin模型不 一样 ,它能描述有随变形而变化的剪切模型的填 料橡胶 ,而且由某种简单变形实验数据拟合的参 数可以用来预测其他变形的力学行为 ,描述的变 形范围也较宽 ,一般适合于模拟大变形但是它不 能很好的解释等双轴拉伸实验[29 ] 。 近年来基于朗之万函数的复杂本构模型的建 立 ,促进了人们去发展包含大分子极限伸长率影 响的新的唯象学模型 ,Alan Gent [30 ] (1996 年) 就 从唯象法出发提出了一个新的简单的模型 ,同时 考虑了分子链的极限伸长率的影响 : W Gent = - E 6 J Mln 1 - J1 J M (29) 式中 , J1 = ( I1 - 3) , E 是小应变时的拉伸模量 , J M 是 J1 的最大值 ,因此当 J1 接近 J M 时材料的分 子链接近极限伸长。尽管这个模型是在经验的基 础上从唯象法出发得来的 ,但是它也有很多优点 , ·45·　　　 弹 　性 　体 第 15 卷 形式比较简单 ,而且在小应变时该模型可以简化 成 Neo2Hookean 模型 ,又因为是用应变不变量表 示的 ,所以能直接用于较复杂的变形中。其他与分 子链极限伸长有关的模型还有 Kilian[31 ] 建立的 Van der Waals模型和 Edwards和Vilgis[32 ] 建立的 模型。Horgan C O和 Saccomandi G[33 ,34 ] 详细地论 述过分子极限伸长率。 根据 Boyce[35 ] ,可以把 Gent 新模型的自然对 数项展开得到如下应变能函数形式 : W Gent = E 6 ( I1 - 3) + 12J M ( I1 - 3) 2 + 1 3J M2 ( I1 - 1) 3 + ⋯⋯+ 1 ( n + 1) J nM ( I1 - 3) n +1 (30) 把式 (30) 写成一般形式为 : W = 6n i = 1 Ci ( I1 - 3) i (31) 如果在 Rivlin 模型 ,即式 (24) 中令 j = 0 ,则得到 式子 (31) ,但是在 Gent 模型中 , Ci 是 J M 的函数 , 因此给参数 Ci 赋予了物理意义 ,就不需要很多实 验数据来拟合系数。 有趣的是 ,八链模型是λchain 的函数 ,而λchain 又等价于 I1/ 3 ,因此八链模型也是 I1 的函数 ,把 Arruda 和 Boyce 的八链模型展开成多项式的形 式 : W 8ch = N k T 1 2 ( I1 - 3) + 1 20 n ( I 2 1 - 9) + 11 1050 n2 ( I31 - 27) + 197000 n3 ( I 4 1 - 81) + 519 673750 n4 ( I51 - 243) + ⋯⋯　　 (32) 把式 (32) 写成一般的函数为 : W = 6n i = 1 Ci ( I i1 - 3 i) (33) 在式 (33) 中 , Ci 是 n 的函数 ,和 Gent 模型一样 , 也给参数赋予了物理意义。它们都可以用单轴拉 伸实验数据拟合的参数来预测其他变形的响应。 Gent 模型和 Arruda2Boyce 模型本质上是等价 的 ,这两个模型实际上是 Yeoh 模型的扩展。I1 的高 次项连续介质力学模型的成功在于它与非高斯统 计模型的相似 , 从而把高阶连续介质力学模型 和非高斯统计力学模型联系起来 ,正如neo2Hookean 模型等价于高斯统计模型一样。这几个模型都满 足无条件稳定性且能说明初始应力软化及后来的 应变硬化行为。这几个模型的共性就是都假设应 变能函数仅仅取决于第一应变不变量。 3. 2 　以主伸长率表示的应变能函数 Valansi 和 Landel [36 ] (1967 年) 提出了一个主 伸长率分离的应变能密度函数的形式 : W VL = 63 i = 1 w (λi) (34) 这个式子也称为 Valansi2Landel 假设 ,Valansi 和 Landel 认为既然把橡胶材料的变形看成是恒 温下的各向同性的均匀变形 ,那么应变能函数相 对于三个主伸长率应该是可以互换的 ,这样应变 能函数就可以表达成三个主伸长率的分离对称的 函数 ,即式子 (34) 。尽管 w (λi) 的表达式没有明 确给出 ,但是这三个函数具有相同的表示形式。这 个模型因为只存在一个函数形式 ,故通过一种实 验 ,如纯剪实验便可确定应变能函数 ,而且这个模 型能直接使用搜集到的拉伸比实验数据 ,这将使 理论和实验工作简化 ,然而这一设想的物理基础 并不很充分 ,还有待于进一步的理论研究和实验 验证[37 ] 。 Ogden[38～40 ] (1972 年) 放弃了应变能函数是 主伸长率的偶函数的假设 ,认为采用不变量来描 写应变能函数是不必要的复杂化 ,他直接用伸长 率作自变量把应变能函数表达为 : W 0 = 6 n μn αn (λαn1 +λ αn 2 +λαn3 - 3) (35) 这也是满足 Valansi2Landel 假设的本构模型 , 早在 1940 年 Mooney 纯粹从唯象法出发 ,假设了 橡胶材料的变形是各向同性、不可压缩及常剪切 模型的均匀变形 ,从而提出了 Mooney2Rivlin 模 型 ,同时他指出 ,如果忽略常剪切模量的假设 ,就 可以把应变能函数表达成如下形式[41 ] : W = 6∞ n = 1 [ A 2 n (λ2 n1 + λ2 n2 + λ2 n3 - 3) + B2 n (λ- 2 n1 +λ- 2 n2 +λ- 2 n3 - 3) ] (36) 式中 , A 2 n , B2 n 是材料常数。 Ogden 模型和上述 Mooney 模型很相似 ,但是 在 Ogden 模型中 ,指数αn 不一定是整数 ,而且在 正指数与负指数之间没有什么关联 ,允许不成对 的指数出现 ,不过从模型的稳定性考虑 ,必须有 : μnαn > 0。Ogden已得出在此模型中用六个参数可 以得到较好的拟合结果。 Rivlin 和 Sawyers认为 Ogden模型只是 Rivlin ·55·第 1 期 李晓芳 ,等. 橡胶材料的超弹性本构模型 　　　 应变能函数的一种特殊形式 , Treloar[7 ] 也表示这 两个模型实质上是等价的 ,选择哪一个仅仅在于 是否方便。因为 ,Ogden 模型除了因用伸长率表示 比用应变量不变量表示的 Rivlin 模型稍显直观 外 ,并无什么真正优越的地方。事实上 ,从有限元 分析的角度来看 ,只要模型能用合理的拟合系数 较精确地表达橡胶材料的力学特性 ,应变能函数 不管用应变不变量还是用主伸长率来表示都无关 紧要[42 ] 。 Ogden 模型是有限元分析中较常用的以伸长 率表示的应变能函数。有关该模型的具体应用的 讨论可以参考文献[42 ] 。 4 　可压缩性的影响 尽管橡胶弹性材料一般被模拟成不可压缩 的 ,但事实上它的体积模量并不是无穷大 ,而仅仅 是比它的剪切模量大得多 ,因此认为橡胶材料是 不可压缩的只能算是一个合理的近似。在大多数 应用场合 ,用相对不可压缩模型和可压缩模型并 不会产生很大的差异 ,例如在弹性体单轴拉伸实 验中 ,体积变化还不到初始体积的 1 % ,对于其他 变形 ,体积改变更小 ,仅仅是初始体积的 0. 01 %。 但是弹性体在受压力很大的静水压缩实验中 ,体 积变化很大 ,可达到初始体积的 10 % ～ 20 % ,而 且压力与体积变化也呈现出非线性的关系 ,这样 不可压缩模型就不能满足要求了。当模拟三维应 力状态或是具有刚性边界条件的时候也必须要用 可压缩模型。另外 ,在有限元分析中用不可压缩本 构模型会导致收敛问题 ,而用可压缩模型就可以 避免。因此 , 严格的本构模型应该是可压缩性 的[43 ] 。 在实际的应用场合用到的可压缩模型 ,大部 分都是在上述不可压缩模型的基础上进行修正 的 ,也有不少研究者提出了各种各样的可压缩本 构模型。这些可压缩性的应变能函数一般可分为 两种形式 ,一种是假设应变能函数可表示成偏应 变能和水静压力应变能之和 : W = W D ( I1 , I2) + W H ( J) (37) 这里 I1 和 I2 是偏变形张量的不变量 , I1 = J - 2/ 3 I1 , I2 = J - 4/ 3 I2 。 另一种可压缩应变能函数形式的表达式为 : W = Wα( I1 , I2 , J ) + W b ( J) (38) 式 (38) 右边两项都包含体积变化的影响。式 (37) 和式 (38) 右边的第一项都是由构形熵的变 化引起的 ,第二项都是由热力学能的变化引起的。 但是 Penn[43 ] 指出式 (37) 不能定性地说明静 水压力实验和单轴拉伸实验中的数据 ,即使小变 形时也不能做到定性的解释。最近 ,Bischoff [44 ] 就 在八链模型的基础上提出了可压缩本构模型 : W = nk T N βchainλchain + Nln βchain sin hβchain + β0 3 ln 1 J + Wb (J) (39) 这里β0 = φ- 1{1/ N} 。 Wb ( J) = W1 ( J) = B2 (lnJ) 2 W2 ( J) = B2 J2 - 1 2 - lnJ W3 ( J) = B2 ( J - 1) 2 W4 ( J) = Bα2 {cos h[α( J - 1) ] - 1} (40) 式 (40) 中的四个表达式本质上都是经验式 , B 和α是由实验数据确定的材料参数 ,前面两个 表达式在以前曾被用来描述过弹性体的可压缩 性 , W 3 ( J) 给出的是小变形时压力与体积变化近 似的线性关系 , W 4 ( J) 是 Bischoff et al 新提出的 表达式。 5 　结 　　语 综上所述 ,人们主要从统计热力法和唯象法 两个方面对橡胶材料的本构模型进行研究。一个 好的唯象法本构模型就是能用拟合出来的材料参 数去解释其他各种应力状态下的实验数据 ,针对 各种载荷能给出稳定的结果 ,能够描述材料较大 的变形范围。但是唯象法终究没有物理基础 ,缺 乏对材料本质的认识 ,近年来 ,以分子统计热力学 为基础的本构模型日益发展 , 尤其是 Arruda2 Boyce 的八链模型的建立 ,从一定程度上解释了 大变形时分子链的非高斯特性 ,由此也找到了以 应变不变量表示的唯象法本构模型和分子统计热 力学法本构模型之间的一些联系。统计热力学本 构模型的成功为描述其他复杂行为的本构模型打 下了基础。 由于橡胶材料的特性十分复杂 ,因此人们在 建立这些理论模型时 ,不得不做一些假设 ,导致各 ·65·　　　 弹 　性 　体 第 15 卷 种模型难免会存在各种各样不足。随着计算机数 值技术的发展 ,对模型的精度越来越高 ,这促进人 们去了解橡胶材料的本质 ,进一步完善它的弹性 本构模型。多年来研究者在这方面做了大量的工 作 ,主要从非高斯、网络缺陷、物理缠结和热力学 能对弹性的贡献等四个方面对经典理论模型进行 修正 ,这些修正理论彼此尚存在差别 ,还有待同化 和统一 ,橡胶弹性理论目前仍在发展中。 参 　考 　文 　献 : [ 1 ] 　Fazilay Laraba2Abbes ,et al. A new‘tailor2made’methodology for the mechanical behavior analysis of rubber2like materials : Ⅱ. Application to the hyperelastic behaviour characterization of a carbon2black filled natural rubber vulcanizate [ J ] . Poly2 mer , 2003 , 44 (3) : 821～840. [ 2 ] 　Edvige Pucci , et al. A note on the gent model for rubber2like materials [ J ] . Rubber Chemistry and Technology , 2002 , 5 (5) : 839～851. [ 3 ] 　Marckmann G ,Verron E et al. A theory of network alteration for the Mullins effect [J ] . Journal of the mechanics and physics of solids , 2002 , 50 : 2 011～2 028. [ 4 ] 　Boyce M C and Arruda E M. Constitutive models of rubber e2 lasticity: a review [ J ] . Rubber chemistry and technology , 2000 , 73 (3) :504～52. [ 5 ] 　Treloar L R G. The elasticity of a network of long chain molecules[J ] . Rubber Chemistry And Technology , 1943 , 16 (4) : 746～751. [ 6 ] 　Treloar L R G. The elasticity of a network of long chain molecules[J ] . Rubber Chemistry And Technology , 1943 , 17 (2) : 296～302. [ 7 ] 　Treloar L R G. Physics of Rubber Elasticity[ M ] . Oxford : U2 niversity Press ,1975. [ 8 ] 　Treloar L R G. The mechanics of rubber elasticity[ M ] . Proc R Soc Lond Ser A , 1976 , 351 : 301 - 330. [ 9 ] 　Treloar L R G , Riding G. A non2gaussian theory for rubber in biaxial strain. I. Mechanical properties [J ] . Proc R Soc Lond Ser A , 1979 , 369 : 261～280. [ 10 ] Wu P D , van der Giessen E. On improved 32D non2gaussian network models for rubber elasticity. Mech Res Commun , 1992 , 19 (5) :427～433. [ 11 ] Wu P D , van der Giessen E. On improved 32D non2gaussian network models for rubber elasticity and their applications to orientation hardening in glassy polymers [ J ] . Journal of the mechanics and physics of solids , 1993 , 41 (3) : 427～456. [ 12 ] James H M , Guth E. Theory of the elastic properties of rub2 ber[J ] . J Chem Phys , 1943 , 11 (10) : 455～481. [ 13 ] Flory P J . Network structure and the elastic properties of vul2 canized rubber[J ] . Chem Rev , 1944 , 35 :51～75. [ 14 ] Arruda E , Boyce M C. A three2dimensional constitutive model for the large stretch behavior of rubber elastic materials [J ] . Journal of the mechanics and physics of solids , 1993 , 41 (2) , 389～412. [ 15 ] James A G , Green A. Strain energy functions of rubber. Ⅱ. Characterization of 8lled vulcanizates [J ] . J Appl Polym Sci , 1975 , 19 :2 319～2 330. [ 16 ] James A G , Green A et al. Strain energy functions of rubber. I. characterization of gum vulcanizates[J ] . J Appl Polym Sci , 1975 , 19 : 2 033～2 058. [ 17 ] Rivlin R S. Large elastic deformation of isotropic materials : I. Fundamental concepts , II. Some uniqueness theories for pure homogeneous deformations [J ] . Philos Trans Roy Soc Lond Ser A , 1948 , 240 : 459～508. [ 18 ] Mooney R. A theory of large elastic deformation [J ] . J Appl Phys , 1940 , 11 : 582～592. [ 19 ] Tschoegl N W. Constitutive equations for elastomers [ J ] . J Appl Polymer Sci , 1971 , A1 : 1 959～1 970. [ 20 ] James A G , Green A. Strain energy function of rubber. Ⅱ. The characterization of filled vulcanizates[J ] . J Appl Polymer Sci , 1975 , 19 : 2 319～23 303. [ 21 ] Morman J r K N , Pan T Y. Application of finite2element anal2 ysis in the design of automotive elastomeric components [J ] . Rubber chemistry and technology , 1988 , 61 (3) : 503～533. [ 22 ] Haines D W , Wilson W D. Strain energy density function for rubberlike materials[J ] . Journal of the mechanics and physics of solids , 1979 , 27 : 345～360. [ 23 ] Gregory M J . The stress2strain behavior of filled rubbers at moderate strains[J ] . Plastics and Rubbers Materials and Ap2 plications , 1979 , 4 (4) :184～188. [ 24 ] Yamashita Y , kawabata S. Approximated form of the strain energy density function of carbon black filled rubber for indus2 trial applications [J ] . Polymer science technology , 1993 , 20 (2) : T/ 52～T/ 64. [ 25 ] Kawabata S , Kawai H. Strain energy density function of rub2 ber vulcanizate from biaxial extension [J ] . Adv Polymer Sci , 1977 , 24 : 90～124. [ 26 ] Hocine Bechiar et al. Strain energy density function for carbon black filled rubber vulcanized for industrial applications [ J ] . Mecanique &Industries , 2002 , 3 : 245～252. [ 27 ] Yeoh O H. Characterization of elastic properties of carbon black2filled rubber vulcanizates [ J ] . Rubber Chemistry and Technology , 1990 , 63 (5) :792～805. [ 28 ] Mullins L . Softening of rubber by deformation [J ] . Rubber Chemistry And Technology , 1969 , 42 (1) :339～362. [ 29 ] Yeoh O H. Some forms of the strain energy for rubber [J ] . Rubber Chemistry and technology , 1993 , 66 (5) :754～771. [ 30 ] Gent A N. A new constitutive relation for rubber[J ] . Rubber Chemistry And Technology , 1996 , 69 (1) :59～61. [ 31 ] Kilian H G. Equation of state of real networks[J ] . Polymer , 1981 , 22 : 483～492. [ 32 ] Edwards S F , Vilgis Th. The effect of entanglements in rub2 ber elasticity[J ] . Polymer , 1986 , 27 :483～492. [ 33 ] Horgan C O , Saccomandi G. Constitutive modeling of rubber2 like and biological materials with limiting chain extensibility [J ] . Journal of the Mechanics and Physics of Solids , 2002 , 7 : 353～371. ·75·第 1 期 李晓芳 ,等. 橡胶材料的超弹性本构模型 　　　 [ 34 ] Horgan C O , Saccomandi G. Finite thermoelasticity with lim2 iting chain extensibility [ J ] . Journal of the mechanics and physics of solids , 2003 , 51 :1 127～1 146. [ 35 ] Boyce M C. Direct comparison of the Gent and the Arruda2 Boyce constitutive models of rubber elasticity [ J ] . Rubber chemistry and technology , 1996 , 69 (5) :781～785. [ 36 ] Valanis K C , Landel R F. The strain2energy function of a hy2 perelastic material in terms of the extension ratios[J ] . J Appl Phys , 1967 , 38 (7) : 2 997～3 002. [ 37 ] Charlton D J , Yang J . A review of