2O 中 学 生 数 学 2003年 8月上
放 缩 法 证 不 等 式
福建省泉州市永春县科委 (362600) 孙建嘁
放缩 法并 不 神秘 ，不等 式 证 明 中，常常 巧 用 放缩
法 ，予以简捷 妙证．
例 1 设 a，bER ，且 a+6—1，则
n+ + b+ > 。
有人惊喜地发现√n+÷，√6+专， 满足勾股
定理，因此可构成直角三角形：√n+专，√6+专为两
条直角边 ， 为 斜边 ，于 是 两 边 之 和 大 于 第 三 边 ，故
n+ + b+ > ．
其实用不着构造 Rt△，只须引用放缩法，便可简
捷地证明： + > 巧+
一
，条件 n+6—1都用不着．
例 2 已知 ，Y， ∈R ，求证：√ +xy+y +
~／ +JTZ+ > Y +yz+ ．
有人巧构 三角形 ，用三 角函数 证 之 ，且 问 ，如果 尚
未学过三角函数 ，可否用代数方法简证?
请看放缩法．注意到~／ + + +~／ + +
> ~／ + 一 y+ 一 、 干 >
~／．)’ +．)’ + ，总共放缩 3处 ，太棒了!
例 3 设 ，Y，2∈(0，1)，求 证 ： (1一．)’)(1一 )+
(1一 )．)’(1一 )+ (1一 )(1一 ．)’) < ．
(《数学教学)2002(1)，数学问题 553)
解 1 有 人构造一 次函数 ：
，( )=JT+y+ 一2(xy+yz+ )+ 3xyz一 1，
虽可证明此不等式，但不简洁．
解 2 我们瞄准已经熟悉的古典传统题 ：已知 0
< ，Y， < l，则 (1一．)’)+y(1一 )+ (1一 )< 1．
(1989年第 15届全俄中学生数学竞赛试题)；于是巧
用放缩法，注意 O6>f，则 + 二_->n+26+f．
(第 32届乌克兰 IMO试题)
解 1 注意到 n >n 一b 一(n+6)(n一6)，b >b
_f2_(6+f)( Ⅱ
0
+
0
>
。
+
n 一 一 C n 一
—
(b
—
+
_
c)
—
(b
一
-- c)
一 (口+6)+(6+c)一n+26+c，证毕．
0一 c
解 z a2 +
一 +
一n+6+ b2 + 6+
c+ > n+ 26+c，
(注：解 2是先作恒等变形 ，最后用放缩法)
例 5 对于一切大于 1的自然数 ，求证：
(1+÷ 1+÷)．．⋯(1+ )> ．
(1985年上 海市数学 高考试题 )
。 解 在欣赏下列证法之余，请考虑放缩法的神
威：令A (1+÷)·(1+÷)⋯··(1+ )
4 6 8 2n
一了 。 ‘了 ⋯ 一 2n--1’
显 然 A >O，
因为 > ，
所 以
一 (÷·了6·了8⋯·· 2n)·‘了4·了6·号⋯·· )
>‘了4·了6·丁8⋯·· )·(÷·÷·詈⋯·
· ，一 > ，
所 以 A > ，原题得 证．
(注 ：显然 两处巧 用放 缩法 ：(1)由 4n > 4n 一 1，
得 > ；(2)为 了最 终 A > 或 A：
> ，将 放缩为 ，太美了!)
例 5的启示是：从欣赏 、模仿可以走向创新应用．
“处处留心皆学问”，请留意眼下的数学问题，考虑：什
么时候 可以巧 用放缩法． r-] (蠢 审 唐 大 暑)
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