null平面向量复习一平面向量复习一null平 面 向 量 复 习
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示运算 实数与向量 的积 向量加法与减法 向量的数量积 平行四边形法则向量平行、垂直的条件平面向量的基本定理三 角 形 法 则向量的三种表示向量的相关概念null一、向量的相关概念:（1）零向量：（2）单位向量：（3）平行向量：（4）相等向量：（5）相反向量：2)重要概念：3)向量的表示4)向量的模（长度）1)定义null2)实数λ与向量 a 的积3)平面向量的数量积：(1)两向量的夹角定义(2)平面向量数量积的定义(4)平面向量数量积的几何意义(3)a在b上的投影(5)平面向量数量积的运算律二、向量的运算1）加法：①两个法则 ②坐标表示
减法: ①法则 ②坐标表示
运算律null三、平面向量之间关系向量平行(共线)条件的两种形式:向量垂直条件的两种形式:（3）两个向量相等的条件是两个向量的坐标相等.四、平面向量的基本定理注:满足什么条件的向量可作为基底?null向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。重要概念：（1）零向量：长度为0的向量，记作0.（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量.（3）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反
的非零向量.（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量.（5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.null几何表示 : 有向线段向量的表示字母表示 坐标表示 : (x，y)若 A(x1,y1), B(x2,y2)则 AB = (x2 － x1 , y2 － y1)null向量的模（长度）1. 设 a = ( x , y ),则2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别
为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则null平 面 向 量 复 习1.向量的加法运算ABC AB+BC=三角形法则OABC OA+OB=平行四边形法则坐标运算:则a + b =重要结论：AB+BC+CA= 0设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)( x1 + x2 , y1 + y2 )AC OCnull平 面 向 量 复 习2.向量的减法运算1）减法法则：OAB2）坐标运算:若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 )则a － b= 3.加法运算率a+b=b+a（a+b)+c=a+(b+c)1）交换律：2）结合律：BA(x1 － x2 , y1 － y2)null平 面 向 量 复 习实数λ与向量 a 的积定义：坐标运算：其实质就是向量的伸长或缩短！λa是一个向量.它的长度 |λa| =|λ| |a|；它的方向(1) 当λ≥0时,λa 的方向与a方向相同；(2) 当λ＜0时,λa 的方向与a方向相反.若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)= (λ x , λ y)null1、平面向量的数量积
（1）a与b的夹角：
（2）向量夹角的范围：
（3）向量垂直：
[00 ，1800]共同的起点（4）两个非零向量的数量积： （4）两个非零向量的数量积：
规定：零向量与任一向量的数量积为0a · b = |a| |b| cosθ几何意义：数量积 a ·b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b| cosθ的乘积。null5、数量积的运算律：⑴交换律：⑵对数乘的结合律：⑶分配律：注意：数量积不满足结合律平面向量数量积的重要性质
平面向量数量积的重要性质
（1）e · a = a · e =| a | cosθ
（2）a ⊥ b的条件是 a · b =0
(3) 当 a与b同向时， a · b = |a | | b | ;
当 a 与b 反向时，a · b = - |a | | b |
特别地：a · a=| a | 2 或 | a | =
（4）cosθ= （5）| a·b | ≤ | a | | b |
a,b为非零向量，e为单位向量null二、平面向量之间关系向量平行(共线)条件的两种形式:向量垂直条件的两种形式:null三、平面向量的基本定理
如果 是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
量 ，有且只有一对实数 使练习1：判断正误，并简述理由。练习1：判断正误，并简述理由。( √ ）( √ ）( √ ）( × ）( × ）( × ）null平 面 向 量 复 习2.设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)，
求证：A、B、D 三点共线。 分析要证A、B、D三点共线，可证AB=λBD关键是找到λ解：∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b∴AB=2 BD且AB与BD有公共点B∴ A、B、D 三点共线AB∥ BD
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